2018-上海卷-10 填-等比数列极限

本题导读

本题考查等比数列的前 n 项和，以及数列的极限。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）设等比数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=q^{n-1}$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），前 $n$ 项和为 $S_n$.若 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}$，则 $q=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出 $S_n$ 与 $a_{n+1}$：由 $a_n=q^{n-1}$，得 $a_{n+1}=q^n$，$S_n=\frac{q^n-1}{q-1}$（$q\ne 1$）。
2. 求比值极限：$\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac{q^n-1}{(q-1)q^n}=\frac{1-\frac{1}{q^n}}{q-1}$，当 $|q|>1$ 时极限为 $\frac{1}{q-1}$。
3. 解方程：令 $\frac{1}{q-1}=\frac{1}{2}$，解出 $q$。

✅【答案】

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$q=3$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_n=q^{n-1}$，得 $a_{n+1}=q^n$。前 $n$ 项和（$q\ne 1$）为

$S_n=\frac{q^n-1}{q-1}$

于是

$\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac{q^n-1}{(q-1)q^n}=\frac{1}{q-1}\left(1-\frac{1}{q^n}\right)$

由 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{2}$ 可知该极限存在，需 $|q|>1$（此时 $\frac{1}{q^n}\to 0$），故

${\lim }_{n\to \infty }\frac{S_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{q-1}=\frac{1}{2}$

解得 $q-1=2$，即 $q=3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 极限存在的条件：只有 $|q|>1$ 时 $\frac{1}{q^n}\to 0$ 才使极限为定值；若 $|q|<1$ 或 $q=1$ 需另作讨论（本题由结果反推可知 $q=3$ 满足）。
2. 等比求和公式：使用 $S_n=\frac{q^n-1}{q-1}$ 时注意 $q\ne 1$ 的前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题把等比数列求和与极限结合。推广：$S_n$ 与 $a_{n+1}$ 之比在 $|q|>1$ 时趋于定值 $\frac{1}{q-1}$，是处理等比数列极限的常用结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 等比数列
• 21.01 数列的极限

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-等比数列极限
• 2013-湖南卷理-21 解-等比数列极限
• 2014-北京卷理-19 解-等比数列