2018-上海卷-17 解-圆锥体积

本题导读

本题考查圆锥的几何特征与体积公式。核心在于公式法、坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）已知圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，半径为 $2$.

(1) 设圆锥的母线长为 $4$，求圆锥的体积；

(2) 设 $PO=4$，$OA$、$OB$ 是底面半径，且 $\angle AOB=90^{\circ }$，$M$ 为线段 $AB$ 的中点，如图.求异面直线 $PM$ 与 $OB$ 所成的角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（体积计算）：

• 求高：已知半径 $r=2$，母线 $l=4$，利用勾股定理求圆锥的高 $h=\sqrt{l^2-r^2}$。

• 代入公式：利用体积公式 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ 求解。

2. 第二问（异面直线角）：

• 建立坐标系：由于 $OA\perp OB$ 且 $OP\perp$ 底面，以 $O$ 为原点，$OA,OB,OP$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。

• 写出坐标：根据题目长度信息，写出 $P,B,A$ 的坐标，进而求出中点 $M$ 的坐标。

• 求向量夹角：计算向量 $\overrightarrow{PM}$ 和 $\overrightarrow{OB}$，利用公式 $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{PM}|\cdot |\overrightarrow{OB}|}$ 求解。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$

(2) $\arctan \sqrt{17}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

因为圆锥的顶点为 $P$，底面圆心为 $O$，半径 $r=2$，母线长 $l=4$，

所以圆锥的高 $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

则圆锥的体积 $V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^{2}h=\frac{1}{3}\times \pi \times 2^2\times 2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi$。

(2)解：

以 $O$ 为原点，$OA$ 所在直线为 $x$ 轴，$OB$ 所在直线为 $y$ 轴，$OP$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

由题意得：$O(0,0,0)$，$P(0,0,4)$，$A(2,0,0)$，$B(0,2,0)$。

因为 $M$ 是 $AB$ 的中点，由中点坐标公式得：

$M(1,1,0)$。

从而可得向量：

$\overrightarrow{PM}=(1-0,1-0,0-4)=(1,1,-4)$，

$\overrightarrow{OB}=(0,2,0)$。

设异面直线 $PM$ 与 $OB$ 所成的角为 $\theta$，则：

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{PM}|\cdot |\overrightarrow{OB}|}=\frac{|1\times 0+1\times 2+(-4)\times 0|}{\sqrt{1^2+1^2+(-4{)}^2}\cdot \sqrt{0^2+2^2+0^2}}$

$\cos \theta =\frac{2}{\sqrt{18}\cdot 2}=\frac{1}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$。

所以，$\theta =\arccos \frac{\sqrt{2}}{6}$。

故异面直线 $PM$ 与 $OB$ 所成的角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{2}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 建系的优越性：对于有明确垂直关系（如本题中的 $90^{\circ }$ 半径夹角）的几何体，坐标法比几何法寻找平移线更为高效且不易出错。

2. 范围注意：异面直线所成的角范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，因此在使用向量夹角公式时必须加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充圆锥相关的其他核心公式：

• 侧面积：$S_{\text{侧}}=\pi rl$（其中 $l$ 为母线）。

• 轴截面：圆锥的轴截面是一个底边为 $2r$，腰为 $l$ 的等腰三角形。

• 展开图：圆锥侧面展开是一个半径为 $l$，弧长为 $2\pi r$ 的扇形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式

• 2005-北京卷理-16 解-直棱柱的性质

• 2006-上海卷理-19 解-异面直线所成角