2018-全国卷I文-21 解-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义与极值点。核心在于导数法、分类讨论与构造函数的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I文）已知函数 $f(x)=a{e}^x-\ln x-1$.

(1) 设 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点. 求 $a$，并求 $f(x)$ 的单调区间；

(2) 证明：当 $a\ge \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)\ge 0$.

🔍【思路分析】

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1. 对函数求导得 $f^{\prime }(x)=a{e}^x-\frac{1}{x}$.由 $x=2$ 是极值点可知 $f^{\prime }(2)=0$，由此求出参数 $a$，并利用导数符号判定单调区间。
2. 当 $a\ge \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，证明 $f(x)\ge 0$ 等价于 $a{e}^x-\ln x-1\ge 0$. 利用函数的最值或放缩法进行证明。

✅【答案】

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(1) $a=\frac{1}{2{\mathrm{e}}^2}$，单调递减区间 $(0,2]$，单调递增区间 $[2,+\infty )$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数的定义域为 $(0,+\infty )$，求导得： $f^{\prime }(x)=a{e}^x-\frac{1}{x}$ 因为 $x=2$ 是 $f(x)$ 的极值点，所以 $f^{\prime }(2)=0$，即： $a{e}^2-\frac{1}{2}=0⟹a=\frac{1}{2{\mathrm{e}}^2}$ 此时 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2{\mathrm{e}}^2}{e}^x-\frac{1}{x}=\frac{x{\mathrm{e}}^{x-2}-2}{2x}$（或直接分析 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2{\mathrm{e}}^2}{\mathrm{e}}^x-\frac{1}{x}$）。 当 $a=\frac{1}{2{\mathrm{e}}^2}$ 时，经检验 $x=2$ 确实是极值点：

• 当 $0<x<2$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；
• 当 $x>2$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。 故 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0,2]$，单调递增区间为 $[2,+\infty )$.

(2) 证明：当 $a\ge \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时， 因为 $a\ge \frac{1}{\mathrm{e}}$ 且 $e^x>0$，所以 $f(x)=a{e}^x-\ln x-1\ge \frac{1}{\mathrm{e}}{e}^x-\ln x-1={\mathrm{e}}^{x-1}-\ln x-1$. 构造辅助函数 $g(x)={\mathrm{e}}^{x-1}-\ln x-1$（$x>0$）， 求导得 $g^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x-1}-\frac{1}{x}=\frac{x{\mathrm{e}}^{x-1}-1}{x}$. 令 $h(x)=x{\mathrm{e}}^{x-1}-1$，则 $h^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{x-1}+x{\mathrm{e}}^{x-1}=(x+1){\mathrm{e}}^{x-1}$. 当 $x>0$ 时，$h^{\prime }(x)>0$，故 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增. 因为 $h(1)=1\cdot {\mathrm{e}}^0-1=0$， 所以：

• 当 $0<x<1$ 时，$h(x)<0⟹g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x>1$ 时，$h(x)>0⟹g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增. 因此 $g(x)$ 的最小值为 $g(1)={\mathrm{e}}^{1-1}-\ln 1-1=1-0-1=0$. 从而对任意 $x>0$，有 $g(x)\ge 0$，即 ${\mathrm{e}}^{x-1}-\ln x-1\ge 0$. 故当 $a\ge \frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)\ge 0$ 恒成立.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与极值点、单调性、不等式恒成立与构造函数.
2. 核心方法：求导数零点、二次求导法（构造辅助函数判符号）.
3. 避坑指南：处理指对混合不等式时，合理放大缩小或二次求导研究导函数的单调性是关键.

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数压轴题的标准结构.
2. 结论推广: 含有参数的恒成立问题常通过分离参数或利用边界最值进行求解.

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2004-湖北理-07 单-指数函数的单调性与最值
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线