2018-全国卷I理-09 单-分段函数

本题导读

本题考查分段函数的图象，以及函数零点与方程根的关系。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^x,& x\le 0\\ \ln x,& x>0\end{array}$，$g(x)=f(x)+x+a$.若 $g(x)$ 存在 2 个零点，则 $a$ 的取值范围是()

A. $[-1,0)$　　　　B. $[0,+\infty )$　　　　C. $[-1,+\infty )$　　　　D. $[1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化问题：$g(x)=0⟺f(x)+x+a=0⟺f(x)=-x-a$。 即寻求函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=-x-a$ 有 2 个交点的条件。
2. 画出 $y=f(x)$ 的图象：

• 当 $x\le 0$ 时，是指数函数 $e^x$，过点 $(0,1)$，在第二象限递增且趋近于 $x$ 轴。
• 当 $x>0$ 时，是对数函数 $\ln x$，过点 $(1,0)$，在第一、四象限递增。

3. 平移直线：

• 直线 $L:y=-x-a$ 的斜率为 $-1$，截距为 $-a$。
• 观察直线从上向下平移的过程：
  • 当直线位于点 $(0,1)$ 上方时，与 $y=\ln x$ 仅有一个交点。
  • 当直线经过点 $(0,1)$ 时，$-a=1⟹a=-1$，此时与左侧射线及右侧对数曲线各有一个交点，共 2 个。
  • 当直线继续向下平移时，始终与左侧 $e^x$ 支和右侧 $\ln x$ 支各保持一个交点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 令 $g(x)=0$，得 $f(x)=-x-a$。 在坐标系中画出 $y=f(x)$ 的图象。

• 左侧支 ($x\le 0$)：$y=e^x$。当 $x=0$ 时，$y=1$。该部分图象恒在 $x$ 轴上方，范围为 $(0,1]$。
• 右侧支 ($x>0$)：$y=\ln x$。图象从 $-\infty$ 增加到 $+\infty$。

考虑直线 $y=-x-a$：

• 当直线截距 $-a$ 很大时，直线在上方，只与右侧支 $\ln x$ 有一个交点。
• 当直线向下平移，直到经过 $y=e^x$ 的端点 $(0,1)$ 时，代入直线方程：$1=-0-a⟹-a=1$，即 $a=-1$。 此时，直线与 $x\le 0$ 部分有一个交点 $(0,1)$，与 $x>0$ 部分由于 $\ln x$ 的增长慢于线性函数下降（或通过导数判断），必有一个交点。总计 2 个。
• 当直线继续向下平移（即 $-a<1⟹a>-1$）时：
  1. 直线与 $x\le 0$ 的 $y=e^x$ 支始终有一个交点（因为直线在 $y$ 轴截距小于 1 且斜率为负，必穿过 $e^x$ 在第二象限的图象）。
  2. 直线与 $x>0$ 的 $y=\ln x$ 支也始终有一个交点（因为 $\ln x$ 范围是整个实数集）。 因此，当 $a\ge -1$ 时，始终存在 2 个零点。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 截距的符号：本题极易在 $-a$ 和 $a$ 的正负号转化上出错。一定要记住，直线 $y=-x-a$ 的 $y$ 轴截距是 $-a$。
2. 增长速度的直觉：在 $x>0$ 区域，直线 $y=-x-a$ 向下减速很快，而 $y=\ln x$ 向上增长很慢。这两者具有截然相反的趋势，因此在右侧支必然且仅有一个交点。
3. 端点包含情况：因为 $e^x$ 在 $x=0$ 处有定义，所以当直线经过 $(0,1)$ 时，该点是一个实实在在的零点。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录这个小贴士：

• 当一个函数单调递增趋于 $+\infty$，另一个函数单调递减趋于 $-\infty$ 时，它们在对应区间内必有且仅有一个交点。
• 这种逻辑可以让你在考试时不必精细绘图就能快速判断右半部分的交点情况。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2003-上海卷理-16
• 2003-全国卷理-14
• 2012-辽宁理-11