2018-全国卷I理-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单的线性规划，以及二元一次不等式组表示的区域。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-2y-2\le 0\\ x-y+1\ge 0\\ y\le 0\end{array}$，则 $z=3x+2y$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：

• 直线 $l_1:x-2y-2=0$（过点 $(2,0),(0,-1)$）。
• 直线 $l_2:x-y+1=0$（过点 $(-1,0),(0,1)$）。
• 直线 $l_3:y=0$（即 $x$ 轴）。
• 根据不等号方向确定公共区域。

2. 分析目标函数：

• 将 $z=3x+2y$ 化为斜截式：$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$。
• 斜率 $k=-1.5$，截距为 $\frac{z}{2}$。由于 $y$ 前系数为正，$z$ 的最大值对应直线在 $y$ 轴上的最大截距。

3. 平移寻找最优解：

• 比较目标直线的斜率（-1.5）与可行域边界线的斜率（$l_1$ 为 0.5，$l_2$ 为 1）。
• 将直线 $y=-1.5x$ 向右上方平移，观察最后离开区域的点。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 6

【解析过程】

1. 确定顶点坐标： 联立方程求交点：

• $A$: 联立 $x-y+1=0$ 与 $y=0⟹A(-1,0)$。
• $B$: 联立 $x-2y-2=0$ 与 $y=0⟹B(2,0)$。
• $C$: 联立 $x-2y-2=0$ 与 $x-y+1=0⟹x-y+1=x-2y-2+y+3$，解得 $y=-3,x=-4⟹C(-4,-3)$。 可行域为 $△ABC$ 及其内部。

2. 寻找最优解： 目标函数 $z=3x+2y$。

• 代入 $A(-1,0)$，$z=3(-1)+2(0)=-3$。

• 代入 $B(2,0)$，$z=3(2)+2(0)=6$。

• 代入 $C(-4,-3)$，$z=3(-4)+2(-3)=-12-6=-18$。

3. 结论： 比较可知，$z$ 的最大值为 $6$。

故填入：6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 斜率判定法：当可行域是封闭的多边形时，最大值和最小值必在顶点处取得。本题中目标函数的系数均为正，且 $B(2,0)$ 是可行域中 $x,y$ 坐标相对最大的点，直观上很有可能是最大值点。
2. 边界线的处理：注意 $y\le 0$ 的限制，这说明区域全在 $x$ 轴下方。
3. 计算核查：线性规划的失分点通常不在逻辑，而在画图不准或解方程组出错。建议最后用顶点代入法验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下目标函数的几何意义：

• $z=ax+by$：平移直线（截距型）。
• $z=\frac{y-b}{x-a}$：过定点 $(a,b)$ 的动直线斜率（斜率型）。
• $z=(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$：到定点 $(a,b)$ 距离的平方（距离型）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV理-16 填-简单的线性规划问题
• 2008-广东卷文-12 填-线性规划最大值
• 2008-湖南卷文-03 单-线性规划最小值