2018-全国卷I理-16 填-导数综合

本题导读

本题考查导数的运算与应用。核心在于导数法、换元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）已知函数 $f(x)=2\sin x+\sin 2x$，则 $f(x)$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 周期性观察：$f(x)$ 的周期为 $2\pi$，因此只需研究 $x\in [0,2\pi ]$ 的情况。
2. 求导并因式分解：

• 求出 $f^{\prime }(x)$。
• 利用二倍角公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ 将导函数统一为关于 $\cos x$ 的二次多项式。
• 对二次多项式进行因式分解，寻找导数为 0 的点。

3. 判定单调性与极值：

• 分析 $f^{\prime }(x)$ 在一个周期内的正负变化。
• 确定极小值点（导数由负变正的点）。

4. 计算最值：将极小值点代入原函数求出结果。

✅【答案】

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$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

【解析过程】

1. 求导运算： $f^{\prime }(x)=2\cos x+2\cos 2x$ 利用二倍角公式代换： $f^{\prime }(x)=2\cos x+2(2{\cos }^{2}x-1)=4{\cos }^{2}x+2\cos x-2$ 提取公因式并因式分解： $f^{\prime }(x)=2(2{\cos }^{2}x+\cos x-1)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)$

2. 分析单调性（取 $x\in [0,2\pi ]$）：

• 令 $f^{\prime }(x)=0$，得 $\cos x=\frac{1}{2}$ 或 $\cos x=-1$。
• 在 $[0,2\pi ]$ 范围内，关键点为 $x=\frac{\pi }{3},\pi ,\frac{5\pi }{3}$。
• 由于 $\cos x+1\ge 0$ 恒成立，导数的符号仅由 $2\cos x-1$ 决定：

  • 当 $x\in (0,\frac{\pi }{3})$ 时，$\cos x>\frac{1}{2}$，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；

  • 当 $x\in (\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3})$ 时，$\cos x<\frac{1}{2}$，$f^{\prime }(x)\le 0$，函数单调递减；

  • 当 $x\in (\frac{5\pi }{3},2\pi )$ 时，$\cos x>\frac{1}{2}$，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。

3. 确定最小值： 函数在 $x=\frac{5\pi }{3}$ 处由减转增，取得极小值，也是最小值（由于对称性，$x=-\frac{\pi }{3}$ 同理）。 代入原函数： $f(\frac{5\pi }{3})=2\sin (\frac{5\pi }{3})+\sin (\frac{10\pi }{3})$ 利用诱导公式：

• $\sin (\frac{5\pi }{3})=\sin (2\pi -\frac{\pi }{3})=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\sin (\frac{10\pi }{3})=\sin (3\pi +\frac{\pi }{3})=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 计算： $f(x{)}_{\min }=2\times (-\frac{\sqrt{3}}{2})+(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$

故填入：$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 导数处理三角函数：这是应对复杂三角最值问题的万能方法。关键在于统一函数名称（全部化为 $\cos x$ 或 $\sin x$）。
2. 辅助角公式的局限：本题中 $\sin 2x$ 与 $2\sin x$ 的频率不同，无法直接使用辅助角公式 $A\sin (\omega x+\varphi )$，必须借力导数。
3. 计算陷阱：在计算 $f(\frac{5\pi }{3})$ 时，一定要注意 $\sin \frac{10\pi }{3}$ 的象限位置，避免符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记录另一种解法：

• 辅助函数法：$f(x)=2\sin x+2\sin x\cos x=2\sin x(1+\cos x)$。
• 考虑到 $f(x)$ 是奇函数，最大值和最小值互为相反数。
• 平方研究：$f^2(x)=4{\sin }^{2}x(1+\cos x{)}^2=4(1-\cos x)(1+\cos x)(1+\cos x{)}^2=4(1-\cos x)(1+\cos x{)}^3$。
• 令 $t=\cos x\in [-1,1]$，研究 $g(t)=4(1-t)(1+t{)}^3$ 的最大值。这种方法在不方便直接求导时非常有效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02(2)
• 1990-全国卷理-04 单-三角方程的根的个数
• 2004-湖北理-07 单-指数函数的单调性与最值