2018-全国卷II文-04 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量的数量积运算，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II文）已知向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=1,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-1$, 则 $\mathbf{a}\cdot (2\mathbf{a}-\mathbf{b})=$ ()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用向量数量积的分配律将表达式展开：$\mathbf{a}\cdot (2\mathbf{a}-\mathbf{b})=2{\mathbf{a}}^2-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$.
2. 代入 $|\mathbf{a}{|}^2={\mathbf{a}}^2$ 及已知条件计算结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}\cdot (2\mathbf{a}-\mathbf{b})=2{\mathbf{a}}^2-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 因为 $|\mathbf{a}|=1$，所以 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2=1$。 又因为 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-1$， 代入得： $2(1)-(-1)=2+1=3$ 故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积的运算法则、向量的平方等于模的平方。
2. 核心方法：展开代入法。
3. 避坑指南：注意 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2$ 是向量运算中的常用转化关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量基础题。
2. 结论推广: 向量的线性运算与数量积分配律完全遵循实数代数的展开规则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2004-重庆理-06 单-平面向量的数量积运算
• 2008-上海卷文-05 填-向量和的模
• 2008-上海卷理-05