2018-全国卷II理-10 单-辅助角公式

本题导读

本题考查辅助角公式，以及余弦函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷II理）若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[-a,a]$ 是减函数，则 $a$ 的最大值是()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　D. $\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数合一：利用辅助角公式 $A\cos x+B\sin x=\sqrt{A^2+B^2}\cos (x+\varphi )$ 将 $f(x)$ 化简。
2. 求单调减区间：根据 $y=\cos u$ 的减区间为 $[2k\pi ,2k\pi +\pi ]$，解出 $x$ 的减区间。
3. 区间包含关系：题目要求在 $[-a,a]$ 上是减函数，意味着 $[-a,a]$ 必须是某个减区间的子集。
4. 建立不等式组：利用对称区间的左端点 $\ge$ 减区间左端点，右端点 $\le$ 减区间右端点，求出 $a$ 的范围。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 化简函数： $f(x)=\cos x-\sin x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

2. 确定减区间： 令 $2k\pi \le x+\frac{\pi }{4}\le 2k\pi +\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 解得：$2k\pi -\frac{\pi }{4}\le x\le 2k\pi +\frac{3\pi }{4}$。 当 $k=0$ 时，一个单调递减区间为 $[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$。

3. 求解 $a$ 的范围： 若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ ($a>0$) 上是减函数，则： $[-a,a]\subseteq \left[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right]$ 列出不等式组： $\{\begin{array}{l}-a\ge -\frac{\pi }{4}\\ a\le \frac{3\pi }{4}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a\le \frac{\pi }{4}\\ a\le \frac{3\pi }{4}\end{array}$ 解得 $0<a\le \frac{\pi }{4}$。 所以 $a$ 的最大值为 $\frac{\pi }{4}$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 辅助角公式的选法：本题也可以化为 $-\sqrt{2}\sin (x-\frac{\pi }{4})$，但化为 $\cos$ 形式在处理减区间时更加直观。
2. 对称区间的陷阱：$a$ 的限制由两端点共同决定。在本题中，左端点 $-a$ 能够到达的最小值 $-\pi /4$ 限制了 $a$ 不能超过 $\pi /4$，尽管右端点理论上可以到 $3\pi /4$。
3. 数形结合：在脑海中画出 $\cos (x+\pi /4)$ 的图象，该图象是将 $\cos x$ 向左平移了 $\pi /4$，其波峰在 $-\pi /4$，波谷在 $3\pi /4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个结论：

• 函数 $y=\cos (x+\varphi )$ 的单调性由整体变量 $u=x+\varphi$ 决定。
• 对于对称区间 $[-a,a]$，如果函数关于 $y$ 轴不对称，则 $a$ 的最大值通常受限于距离原点较近的那个极值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1977-天津-01(2)
• 1977-福建卷-01(2)
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性