2018-全国卷III文-15 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}2x+y+3\ge 0,\\ x-2y+4\ge 0,\\ x-2\le 0,\end{array}$ 则 $z=x+\frac{1}{3}y$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据约束条件画出平面可行域。
2. 求出可行域的各顶点坐标。
3. 将顶点坐标代入目标函数 $z=x+\frac{1}{3}y$ 中比较得出最大值。

✅【答案】

点击查看答案

$3$

✍【详细解析】

Abstract

联立边界方程求出可行域的顶点：

• 联立 $\{\begin{array}{l}2x+y+3=0,\\ x-2y+4=0,\end{array}$ 可得交点坐标为 $(-2,1)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}2x+y+3=0,\\ x-2=0,\end{array}$ 可得交点坐标为 $(2,-7)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x-2y+4=0,\\ x-2=0,\end{array}$ 可得交点坐标为 $(2,3)$。 将各顶点坐标代入目标函数 $z=x+\frac{1}{3}y$：
• 在顶点 $(-2,1)$ 处：$z=-2+\frac{1}{3}(1)=-\frac{5}{3}$；
• 在顶点 $(2,-7)$ 处：$z=2+\frac{1}{3}(-7)=2-\frac{7}{3}=-\frac{1}{3}$；
• 在顶点 $(2,3)$ 处：$z=2+\frac{1}{3}(3)=2+1=3$。 经比较，最大值为 $3$。 答案：$3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域、顶点坐标计算、目标函数最值。
2. 核心方法：角点检验法。
3. 避坑指南：解交点方程组时要仔细核对系数，防止因计算失误导致顶点求错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规填空题。
2. 结论推广: 线性目标函数的最值一定在多边形可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷理-6
• 天津卷文-16 解-线性规划
• 2004-全国卷II理-14 填-简单线性规划