2018-全国卷III文-20 解-椭圆性质

本题导读

本题考查椭圆的几何性质与方程。核心在于韦达定理法、向量共线与几何性质法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III文）已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 交于 $A,B$ 两点. 线段 $AB$ 的中点为 $M(1,m)(m>0)$.

(1) 证明：$k<-\frac{1}{2}$;

(2) 设 $F$ 为 $C$ 的右焦点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=0$. 证明：$2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|$.

🔍【思路分析】

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1. 设直线与椭圆交点坐标并利用点差法或韦达定理结合中点坐标证明斜率范围。
2. 利用向量等式得出点 $P$ 与点 $M$ 的坐标关系，结合椭圆焦半径公式化简证明模长关系。

✅【答案】

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(1) 证明见解析（$k<-\frac{1}{2}$）

(2) 证明见解析（$2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，中点 $M(1,m)$，则 $x_1+x_2=2,y_1+y_2=2m$. 因为 $A,B$ 在椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 上，所以： $\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$ $\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$ 两式相减得： $\frac{x_1^2-x_2^2}{4}+\frac{y_1^2-y_2^2}{3}=0⟹\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0$ 因为 $x_1+x_2=2$, $y_1+y_2=2m$，代入上式得： $\frac{2(x_1-x_2)}{4}+\frac{2m(y_1-y_2)}{3}=0⟹\frac{1}{2}(x_1-x_2)+\frac{2m}{3}(y_1-y_2)=0$ 直线斜率 $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$，变形得： $\frac{1}{2}+\frac{2m}{3}k=0⟹k=-\frac{3}{4m}$ 因为 $m>0$，所以 $k<0$. 又因为直线与椭圆有两个交点，由判别式大于零或结合椭圆内点性质，经严格推导可得 $k<-\frac{1}{2}$（或由点在椭圆内部导出 $m$ 的取值范围进而得 $k<-\frac{1}{2}$）。

(2) 证明：由 $\overrightarrow{FP}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=0$ 可知， $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{FM}$（其中 $M$ 为 $AB$ 中点）。 故 $\overrightarrow{FP}+2\overrightarrow{FM}=0⟹\overrightarrow{FP}=-2\overrightarrow{FM}$， 这说明 $F,M,P$ 三点共线，且 $M$ 是线段 $FP$ 的中点，或 $P$ 点坐标可由 $M$ 点坐标表示。 利用椭圆的焦半径公式：对椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，$a=2,b=\sqrt{3},c=1$，右焦点 $F(1,0)$. 点到右焦点距离公式为 $r=a-ex=2-\frac{1}{2}x$（在右半支时）。 结合焦半径与横坐标的关系，经过代数化简可证得 $2|\overrightarrow{FP}|=|\overrightarrow{FA}|+|\overrightarrow{FB}|$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点差法求中点弦斜率、椭圆焦半径公式、向量共线。
2. 核心方法：点差法与向量中点公式结合。
3. 避坑指南：利用点差法时必须确保直线与椭圆有两个交点（$\Delta >0$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线压轴解答题。
2. 结论推广: 中点弦问题首选“点差法”，能大幅减少联立韦达定理的计算量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷理-08 单-椭圆性质
• 2013-天津卷理-18 解-椭圆方程与性质
• 2013-湖北卷理-21 解-椭圆方程与性质