2018-全国卷III理-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）$(x^2+\frac{2}{x}{)}^5$ 的展开式中 $x^4$ 的系数为()

A. 10　　　　　　　B. 20　　　　　　　C. 40　　　　　　　D. 80

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：根据二项式展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

• 这里 $n=5$，$a=x^2$，$b=2x^{-1}$。
• $T_{r+1}=C_5^r\cdot (x^2{)}^{5-r}\cdot (2x^{-1}{)}^r$。

2. 整理各项：将常数部分与变量 $x$ 的指数部分分离。

• $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{2(5-r)}\cdot x^{-r}$。
• $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{10-3r}$。

3. 确定 $r$ 值：令 $x$ 的指数等于目标值 4。

• $10-3r=4⟹3r=6⟹r=2$。

4. 计算系数：将 $r=2$ 代入常数项部分 $C_5^r\cdot 2^r$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】 二项式 $(x^2+\frac{2}{x}{)}^5$ 展开式的通项为： $T_{r+1}=C_5^r(x^2{)}^{5-r}{\left(\frac{2}{x}\right)}^r$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{10-2r}\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot 2^r\cdot x^{10-3r}$ 令 $10-3r=4$，解得 $r=2$。 则 $x^4$ 的系数为： $C_5^2\cdot 2^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}\times 4=10\times 4=40$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 通项公式记忆：注意 $C_n^r$ 中的 $r$ 对应的是第 $r+1$ 项。
2. 系数与二项式系数的区别：

• 二项式系数：指 $C_n^r$，本题中 $x^4$ 项的二项式系数是 $C_5^2=10$。
• 项的系数：指项中除变量外的所有常数部分，本题中需要乘以 $2^r$，结果为 40。

3. 指数运算：在处理 $\frac{2}{x}$ 时，将其看作 $2x^{-1}$ 可以避免分式运算带来的失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个技巧：

• 对于较小的 $n$（如 $n=5$），可以直接利用杨辉三角第 6 行系数：1, 5, 10, 10, 5, 1。
• 观察每一项的 $x$ 次数：$(x^2{)}^5\to x^{10}$，$(x^2{)}^4(1/x)\to x^7$，$(x^2{)}^3(1/x{)}^2\to x^4$。
• 确定是第三项后，系数即为 $10\times 2^2=40$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I理-05 单-二项式定理
• 2004-湖南理-15 填-二项式定理
• 2006-湖北卷理-05 单-指数幂的运算性质