2018-全国卷III理-06 单-直线方程

本题导读

本题考查直线的截距与两点间距离，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）直线 $x+y+2=0$ 分别与 $x$ 轴，$y$ 轴交于 $A,B$ 两点，点 $P$ 在圆 $(x-2{)}^2+y^2=2$ 上，则 $△ABP$ 面积的取值范围是()

A. $[2,6]$　　　　B. $[4,8]$　　　　C. $[\sqrt{2},3\sqrt{2}]$　　　　D. $[2\sqrt{2},3\sqrt{2}]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定底边 $AB$：

• 令 $y=0⟹A(-2,0)$；
• 令 $x=0⟹B(0,-2)$。
• 计算长度：$|AB|=\sqrt{(-2-0{)}^2+(0-(-2){)}^2}=2\sqrt{2}$。

2. 确定高 $h$ 的范围：

• $△ABP$ 的面积 $S=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h$，其中 $h$ 是点 $P$ 到直线 $x+y+2=0$ 的距离。
• 圆 $C:(x-2{)}^2+y^2=2$ 的圆心为 $(2,0)$，半径 $r=\sqrt{2}$。
• 计算圆心到直线的距离 $d$：$d=\frac{|2+0+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
• 点 $P$ 到直线的距离 $h$ 的范围为 $[d-r,d+r]$。

3. 计算面积范围：将 $h$ 的最值代入面积公式。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

1. 计算 $|AB|$： 直线 $x+y+2=0$ 与坐标轴交点为 $A(-2,0)$，$B(0,-2)$。 $|AB|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。

2. 计算高的范围： 圆心 $C(2,0)$ 到直线 $x+y+2=0$ 的距离： $d=\frac{|2+0+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ 因为 $d>r$（$2\sqrt{2}>\sqrt{2}$），所以直线与圆相离。 圆上点 $P$ 到直线的距离 $h$ 的最小值为 $h_{min}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$， 最大值为 $h_{max}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

3. 计算面积 $S$： $S=\frac{1}{2}\times |AB|\times h=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times h=\sqrt{2}h$

• $S_{min}=\sqrt{2}\times \sqrt{2}=2$
• $S_{max}=\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}=6$ 所以面积范围是 $[2,6]$。

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 圆上点到直线的距离模型：这是解析几何的高频模型。记住 $h\in [d-r,d+r]$ 是解决此类最值问题的金钥匙。
2. 面积公式的转化：在 $△ABP$ 中，$A,B$ 是定点，底边固定，面积的变化完全取决于高的变化。
3. 计算技巧：处理分母含 $\sqrt{2}$ 的式子时，及时进行分母有理化可以减少后续运算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累以下变式：

• 若直线与圆相切，$h_{min}=0$。
• 若直线与圆相交，$h_{min}=0$，$h_{max}=d+r$。
• 如果题目求的是“$△ABP$ 为钝角三角形”的情况，则需要结合点 $P$ 的坐标位置进一步讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2012-北京卷文-19 解-椭圆弦长面积
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离
• 2013-重庆卷文-04 单-圆最短距离