2018-全国卷III理-08 单-二项分布

本题导读

本题考查二项分布，以及二项分布的方差公式。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$，各成员的支付方式相互独立.设 $X$ 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数，$DX=2.4$，$P(X=4)<P(X=6)$，则 $p=$()

A. 0.7　　　　　　B. 0.6　　　　　　C. 0.4　　　　　　D. 0.3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别模型：由于每位成员支付方式相互独立，且概率均为 $p$，因此 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(10,p)$。
2. 利用方差求 $p$：

• 二项分布方差公式为 $DX=np(1-p)$。
• 代入 $n=10,DX=2.4$，得到 $10p(1-p)=2.4$，即 $p(1-p)=0.24$。
• 解得 $p=0.4$ 或 $p=0.6$。

3. 利用概率比较进行筛选：

• 比较 $P(X=4)$ 和 $P(X=6)$。
• $P(X=4)=C_{10}^4{p}^4(1-p{)}^6$。
• $P(X=6)=C_{10}^6{p}^6(1-p{)}^4$。
• 因为 $C_{10}^4=C_{10}^6$，且 $p,1-p$ 均为正数，消去共同项。
• 不等式转化为 $(1-p{)}^2<p^2$。

4. 得出结论：由 $(1-p{)}^2<p^2$ 且 $0<p<1$ 知 $1-p<p⟹2p>1⟹p>0.5$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 建立方程： 由题意知 $X\sim B(10,p)$，则 $DX=10p(1-p)=2.4$。 整理得 $p^2-p+0.24=0$。 解得 $p_1=0.4,p_2=0.6$。

2. 比较筛选： 已知 $P(X=4)<P(X=6)$，代入二项分布概率公式： $C_{10}^4{p}^4(1-p{)}^6<C_{10}^6{p}^6(1-p{)}^4$ 由于 $C_{10}^4=C_{10}^6=210$，两边同时约去 $210\cdot p^4\cdot (1-p{)}^4$ 得： $(1-p{)}^2<p^2$ 展开得：$1-2p+p^2<p^2⟹1<2p⟹p>0.5$。 对比 $p=0.4$ 和 $p=0.6$，只有 $p=0.6$ 符合条件。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对称性：二项分布的方差关于 $p=0.5$ 对称，所以 $DX$ 确定的 $p$ 通常有两个互补的值（$p$ 与 $1-p$）。
2. 概率的大小趋势：当 $p>0.5$ 时，成功次数较多的概率通常更大（均值右移）；反之亦然。本题中 $P(X=6)>P(X=4)$ 直观反映了“成功”的概率更高。
3. 计算技巧：在比较 $C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 时，利用组合数的对称性 $C_n^k=C_n^{n-k}$ 可以极大地简化不等式。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个直觉：

• 当 $p=0.5$ 时，分布列图象完全对称，此时 $P(X=4)=P(X=6)$。
• 当 $p=0.6$ 时，图象整体向右偏，峰值（众数）在 $np=6$ 附近。
• 当 $p=0.4$ 时，图象整体向左偏，峰值在 $np=4$ 附近。
• 本题 $P(X=6)>P(X=4)$ 说明峰值更偏向右侧，故 $p=0.6$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷文-18 解-独立事件与二项分布
• 2008-山东卷理-18
• 2008-重庆卷文-18 解-独立重复试验概率