2018-全国卷III理-21 解-导数运算法则

本题导读

本题考查导数的运算法则。核心在于两次求导法、局部一致性法 (构造 h(x))的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷III理）已知函数 $f(x)=(2+x+a{x}^2)\ln (1+x)-2x$.

(1) 若 $a=0$，证明：当 $-1<x<0$ 时，$f(x)<0$；当 $x>0$ 时，$f(x)>0$；

(2) 若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点，求 $a$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：单调性证明

• 代入 $a=0$，得到 $f(x)=(2+x)\ln (1+x)-2x$。

• 求导得到 $f^{\prime }(x)=\ln (1+x)+\frac{2+x}{1+x}-2=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$。

• 为了判断 $f^{\prime }(x)$ 的符号，再次求导得到 $f^{\prime \prime }(x)=\frac{x}{(1+x{)}^2}$。

• 根据 $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 两侧的符号，判断 $f^{\prime }(x)$ 的最小值，进而得出 $f(x)$ 的单调性。

2. 第二问：极值点求参数

• 必要条件：若 $x=0$ 是极值点，则 $f^{\prime }(0)=0$。经计算 $f^{\prime }(0)=(1+2a\cdot 0)\ln (1)+\frac{2}{1}-2=0$，恒成立。
• 分类讨论：
  • 若 $a\ge 0$，利用第一问结论证明 $f(x)$ 在 $x=0$ 附近单调递增，不可能是极大值点。
  • 若 $a<0$，构造 $h(x)=\frac{f(x)}{2+x+a{x}^2}$。在 $x=0$ 附近，$2+x+a{x}^2>0$，故 $f(x)$ 与 $h(x)$ 同号，极值性质一致。
• 精细化简：对 $h(x)$ 求导，观察导函数分子在 $x=0$ 附近的变号情况。分子是一个关于 $x$ 的多项式，其常数项和低次项决定了 $x=0$ 附近的走势。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $a=-\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 当 $a=0$ 时，$f(x)=(2+x)\ln (1+x)-2x$，定义域为 $(-1,+\infty )$。 $f^{\prime }(x)=\ln (1+x)+(2+x)\cdot \frac{1}{1+x}-2=\ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$。 令 $g(x)=f^{\prime }(x)$，则 $g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1+x-x}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}$。

• 当 $-1<x<0$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x>0$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 所以 $g(x{)}_{min}=g(0)=\ln (1)-0=0$。 故 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $(-1,+\infty )$ 上恒成立（仅在 $x=0$ 处为 0）。 因此 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty )$ 上单调递增。 又 $f(0)=0$， 所以当 $-1<x<0$ 时，$f(x)<f(0)=0$； 当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=0$。

(2)解： (i) 若 $a\ge 0$，由(1)结论，当 $x>0$ 时，$f(x)\ge (2+x)\ln (1+x)-2x>0$。 由于 $f(0)=0$，此时 $x=0$ 不是极大值点（右侧存在比它大的值）。

(ii) 若 $a<0$，考虑在 $x=0$ 附近的性质。 构造 $h(x)=\frac{f(x)}{2+x+a{x}^2}=\ln (1+x)-\frac{2x}{2+x+a{x}^2}$。 在 $x=0$ 的充分小邻域内，$2+x+a{x}^2>0$，故 $h(x)$ 与 $f(x)$ 符号相同且 $h(0)=0$。 $h^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{2(2+x+a{x}^2)-2x(1+2ax)}{(2+x+a{x}^2{)}^2}=\frac{x^2(a^2{x}^2+4ax+6a+1)}{(1+x)(a{x}^2+x+2{)}^2}$。

• 若 $6a+1>0$（即 $a>-1/6$），则当 $x$ 趋近于 0 时，$a^2{x}^2+4ax+6a+1\to 6a+1>0$。此时 $h^{\prime }(x)\ge 0$（在 $x=0$ 附近），$h(x)$ 单调递增，$x=0$ 不是极大值点。
• 若 $6a+1<0$（即 $a<-1/6$），同理在 $x=0$ 附近 $h^{\prime }(x)<0$（因为 $x^2>0$ 且括号内为负），$h(x)$ 单调递减，$x=0$ 也不是极大值点。
• 若 $6a+1=0$（即 $a=-1/6$），代入得： $h^{\prime }(x)=\frac{x^3(\frac{1}{36}x-\frac{2}{3})}{(1+x)(\dots {)}^2}$。 此时在 $x=0$ 左侧（$-1<x<0$），$x^3<0$，括号内为负，故 $h^{\prime }(x)>0$，$h(x)$ 递增； 在 $x=0$ 右侧（$x>0$ 且较小），$x^3>0$，括号内为负，故 $h^{\prime }(x)<0$，$h(x)$ 递减。 符合极大值点定义。

综上所述，$a=-\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 构造函数的技巧：在处理分子含有 $\ln$ 或 $e^x$ 且分母含有复杂多项式的极值问题时，利用 $h(x)=f(x)/g(x)$ 的同号性可以有效降低求导难度。
2. “端点效应”与局部性质：压轴题经常考查函数在 $x=0$ 附近的局部性状。通过观察导数在 $0$ 点的系数（如 $6a+1$）来判定变号情况。
3. 计算量控制：若直接对 $f(x)$ 进行三阶求导，式子会变得极其臃肿。学会“剥离”正值部分（如分母的平方项）是解析几何和导数题的通用技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个快速验证方法：

• $\ln (1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$。
• $f(x)=(2+x+a{x}^2)(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3})-2x$
• 展开展开项：$f(x)\approx (2x-x^2+\frac{2}{3}{x}^3+x^2-\frac{1}{2}{x}^3+a{x}^3)-2x=(\frac{1}{6}+a)x^3$。
• 若 $x=0$ 是极大值点，则领先项不能是 $x^3$（因为 $x^3$ 在原点两侧变号），必须让 $x^3$ 项系数为 0。
• 即 $\frac{1}{6}+a=0⟹a=-1/6$。
• 注：此法在填空选择题中极快，大题中可作为寻找答案的捷径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2016-四川卷理-21
• 2016-山东卷理-20
• 2004-湖北理-07 单-指数函数的单调性与最值