2018-北京卷文-07 单-三角函数单调性

本题导读

本题考查三角函数的单调性与符号，以及单位圆中的三角函数线。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）在平面直角坐标系中，$\widehat{AB},\widehat{CD},\widehat{EF},\widehat{GH}$ 是圆 $x^2+y^2=1$ 上的四段弧（如图），点 $P$ 在其中一段上，角 $\alpha$ 以 $Ox$ 为始边，$OP$ 为终边.若 $\tan \alpha <\cos \alpha <\sin \alpha$，则 $P$ 所在的圆弧是 ()

A. $\widehat{AB}$　　　　　　　B. $\widehat{CD}$　　　　　　　C. $\widehat{EF}$　　　　　　　D. $\widehat{GH}$

🔍【思路分析】

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1. 由 $\cos \alpha <\sin \alpha$ 可知，在第一象限中只有当角大于 $45^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{4}$）时正弦值才大于余弦值；但在其他象限需结合符号判断。
2. 分析已知不等式 $\tan \alpha <\cos \alpha <\sin \alpha$，由于 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 均大于 0（只有第一象限正弦余弦皆为正），故角 $\alpha$ 必在第一象限。
3. 在第一象限中，当 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$\sin \alpha >\cos \alpha >0$，而 $\tan \alpha >1>\sin \alpha$，不满足；若在第二象限，$\cos \alpha <0,\sin \alpha >0$，此时 $\cos \alpha <\sin \alpha$ 成立，且 $\tan \alpha <0$，满足 $\tan \alpha <\cos \alpha <\sin \alpha$。观察图形中弧 $\widehat{CD}$ 或 $\widehat{EF}$ 所在象限，精确判定点 $P$ 的位置。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\cos \alpha <\sin \alpha$ 及 $\tan \alpha <\cos \alpha$：

• 若 $\alpha$ 在第一象限，则 $\sin \alpha >0,\cos \alpha >0,\tan \alpha >0$，此时 $\sin \alpha >\cos \alpha$ 要求 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，但此时 $\tan \alpha >1$，而 $\cos \alpha <1$，无法满足 $\tan \alpha <\cos \alpha$。
• 若 $\alpha$ 在第二象限，则 $\cos \alpha <0,\tan \alpha <0,\sin \alpha >0$，显然有 $\tan \alpha <\cos \alpha <\sin \alpha$ 恒成立。 观察图形，第二象限对应的圆弧为 $\widehat{EF}$。 故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数在各象限的符号及大小比较。
2. 核心方法：分象限符号讨论法。
3. 避坑指南：切忌忽略负数的传递性，异号之间直接比较大小时要特别注意正负符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数概念与性质经典题。
2. 结论推广: 熟练掌握三角函数线在判断函数值大小中的应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性
• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16