2018-北京卷文-10 填-抛物线性质

本题导读

本题考查抛物线的定义与几何性质，以及焦参数与焦点坐标。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）已知直线 $l$ 过点 $(1,0)$ 且垂直于 $x$ 轴.若 $l$ 被抛物线 $y^2=4ax$ 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据直线 $l$ 过点 $(1,0)$ 且垂直于 $x$ 轴，可知直线方程为 $x=1$。
2. 将 $x=1$ 代入抛物线方程 $y^2=4ax$ 中求出截得的纵坐标，利用线段长为 4 建立关于 $a$ 的方程求解。
3. 根据 $a$ 的值写出抛物线的焦点坐标。

✅【答案】

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$(1,0)$

✍【详细解析】

Abstract

直线 $l$ 的方程为 $x=1$。 将 $x=1$ 代入抛物线 $y^2=4ax(a>0)$ 中，得 $y^2=4a$， 解得 $y=\pm 2\sqrt{a}$. 因此直线 $l$ 被抛物线截得的线段长度为 $|2\sqrt{a}-(-2\sqrt{a})|=4\sqrt{a}$. 由题意知 $4\sqrt{a}=4⟹\sqrt{a}=1⟹a=1$. 抛物线方程为 $y^2=4x$，其焦点坐标为 $(1,0)$. 故答案为：$(1,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线截线长、焦点坐标。
2. 核心方法：联立方程求交点弦长。
3. 避坑指南：注意抛物线开口方向及参数 $a$ 的正负性讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线基础经典题。
2. 结论推广: 抛物线过焦点垂直于对称轴的弦长（通径）公式为 $2p=4a$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义