2018-北京卷文-13 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）若 $x,y$ 满足 $x+1\le y\le 2x$，则 $2y-x$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由约束条件 $x+1\le y$ 且 $y\le 2x$ 画出平面区域（可行域）。
2. 确定区域的边界及交点坐标。
3. 利用线性规划方法求目标函数 $z=2y-x$ 的最值。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

约束条件对应的边界直线方程为 $y=x+1$ 和 $y=2x$。 联立两直线方程 $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=2x\end{array}$ 解得交点坐标为 $(1,2)$。 在可行域内，将边界点或端点代入目标函数 $z=2y-x$： 在交点 $(1,2)$ 处，$z=2(2)-1=3$。 结合区域的延伸方向（当 $x\to +\infty$ 时 $z$ 可趋于更大），可知目标函数在边界交点处取得最小值 3。 故答案为：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。
2. 核心方法：角点法（在可行域顶点或边界交点处取最值）。
3. 避坑指南：作图时准确画出边界直线，防止交点求错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规题。
2. 结论推广: 熟练掌握直线斜率与目标函数截距的关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷理-6
• 2004-全国卷II理-14 填-简单线性规划
• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解