2018-北京卷文-18 解-线面垂直

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于几何法、空间向量坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为矩形，平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，$PA\perp PD$，$PA=PD$，$E,F$ 分别为 $AD,PB$ 的中点.

(1) 求证：$PE\perp BC$；

(2) 求证：平面 $PAB\perp$ 平面 $PCD$；

(3) 求证：$EF\parallel$ 平面 $PCD$.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问利用面面垂直的性质定理证明 $PE\perp$ 平面 $ABCD$，进而证得 $PE\perp BC$。
2. 第(2)问利用线面垂直的判定定理证明 $PA\perp$ 平面 $PCD$，进而证得两平面垂直。
3. 第(3)问建立空间直角坐标系，利用法向量法证明 $EF$ 与平面 $PCD$ 的法向量垂直，从而得出线面平行。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PA=PD$，$E$ 为 $AD$ 的中点，所以 $PE\perp AD$. 又因为平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，平面 $PAD\cap$ 平面 $ABCD=AD$，且 $PE\subset$ 平面 $PAD$， 所以 $PE\perp$ 平面 $ABCD$. 又因为 $BC\subset$ 平面 $ABCD$，所以 $PE\perp BC$.

(2) 证明： 因为四边形 $ABCD$ 为矩形，所以 $CD\perp AD$. 又平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，且交线为 $AD$， $CD\subset$ 平面 $ABCD$， 所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$. 因为 $PA\subset$ 平面 $PAD$，所以 $CD\perp PA$. 又因为 $PA\perp PD$，且 $CD\cap PD=D$， 所以 $PA\perp$ 平面 $PCD$. 因为 $PA\subset$ 平面 $PAB$，所以平面 $PAB\perp$ 平面 $PCD$.

(3) 证明： 以 $E$ 为坐标原点，$\overrightarrow{ED}$ 的方向为 $x$ 轴正方向，过点 $E$ 且垂直于平面 $ABCD$ 的方向为 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 设 $AE=ED=a$，则 $PE=a$，$EB=AB=b$. 相关点坐标为： $E(0,0,0)$，$D(a,0,0)$，$C(a,b,0)$，$P(0,0,a)$，$B(-a,b,0)$. 因为 $F$ 是 $PB$ 的中点，可得 $F\left(-\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{a}{2}\right)$. 从而向量 $\overrightarrow{EF}=\left(-\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{a}{2}\right)$. 设平面 $PCD$ 的法向量为 $\mathbf{n}=(x,y,z)$， 因为 $\overrightarrow{CD}=(0,-a,0)$，$\overrightarrow{PD}=(a,0,-a)$， 由 $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-ay=0\\ \mathbf{n}\cdot \overrightarrow{PD}=ax-az=0\end{array}$，取 $\mathbf{n}=(1,0,1)$. 计算可得 $\overrightarrow{EF}\cdot \mathbf{n}=-\frac{a}{2}\cdot 1+\frac{b}{2}\cdot 0+\frac{a}{2}\cdot 1=0$. 因为 $EF\not\subset$ 平面 $PCD$，所以 $EF\parallel$ 平面 $PCD$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直、面面垂直、线面平行。
2. 核心方法：面面垂直性质定理的降维转化、空间向量法。
3. 避坑指南：运用线面垂直性质时必须强调交线垂直关系；用向量法证明线面平行时需说明直线不在平面内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题常规题型，重点考查空间想象能力与逻辑推理能力。
2. 结论推广: 熟练掌握“面面垂直转化线面垂直”的核心转化思想。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷理-18 填-线面垂直的命题构造
• 2006-北京卷理-17 解-空间向量建系法
• 2008-江苏卷-16 解-线面平行垂直