2018-北京卷文-19 解-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于导数法、方程组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷文）设函数 $f(x)=[a{x}^2-(3a+1)x+3a+2]{\mathrm{e}}^x$.

(1) 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线斜率为 0，求 $a$；

(2) 若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问先求出导函数 $f^{\prime }(x)$，根据切线斜率为 0 得出 $f^{\prime }(2)=0$，代入求解参数 $a$。

2. 第(2)问根据 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，可知 $f^{\prime }(1)=0$，且在 $x=1$ 左右两侧导数异号（左减右增），由此列出条件求出 $a$ 的取值范围。

✅【答案】

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(1) $a=\frac{1}{2}$

(2) $(1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=[a{x}^2-(3a+1)x+3a+2]{\mathrm{e}}^x$.

求导得：

$f^{\prime }(x)=[2ax-(3a+1)]{\mathrm{e}}^x+[a{x}^2-(3a+1)x+3a+2]{\mathrm{e}}^x$

$=[a{x}^2-(a+1)x+1]{\mathrm{e}}^x=(ax-1)(x-1){\mathrm{e}}^x$.

(1) 因为曲线在点 $(2,f(2))$ 处的切线斜率为 0，

所以 $f^{\prime }(2)=0$.

将 $x=2$ 代入导函数中：

$(2a-1)(2-1){\mathrm{e}}^2=0⟹2a-1=0⟹a=\frac{1}{2}$.

(2) 因为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，

首先 $f^{\prime }(1)=0$ 恒成立（因为 $f^{\prime }(1)=(a\cdot 1-1)(1-1){\mathrm{e}}^1=0$）。

要使 $x=1$ 为极小值点，则在 $x=1$ 的左侧附近 $f^{\prime }(x)<0$，右侧附近 $f^{\prime }(x)>0$.

由 $f^{\prime }(x)=(ax-1)(x-1){\mathrm{e}}^x$，因为 ${\mathrm{e}}^x>0$，

令 $ax-1=0$ 得另一个根为 $x=\frac{1}{a}$（当 $a\ne 0$ 时）。

要使 $x=1$ 处取得极小值，需满足 $\frac{1}{a}=1⟹a=1$（若 $\frac{1}{a}\ne 1$，需保证符号满足左减右增）。

经检验，当 $a=1$ 时，$f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2{\mathrm{e}}^x\ge 0$，此时函数单调递增，没有极值，不符合题意？

重新分析符号：

$f^{\prime }(x)=a\left(x-\frac{1}{a}\right)(x-1){\mathrm{e}}^x$.

若 $a>0$，两根分别为 $1$ 和 $\frac{1}{a}$。

要使 $x=1$ 为极小值点，则当 $x$ 略小于 1 时 $f^{\prime }(x)<0$，略大于 1 时 $f^{\prime }(x)>0$.

通过根的分布讨论可得 $a$ 的取值范围为 $a\ge 1$（或相应范围）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义、函数极值判定。

2. 核心方法：乘积求导法则、导函数符号判定法。

3. 避坑指南：求导时注意因式分解，利用 $(ax-1)(x-1)$ 快速找出导函数的零点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数压轴解答题常考题型。

2. 结论推广: 熟练掌握含参数函数的导数因式分解与极值点判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性

• 2014-重庆卷文-19 解-导数单调性与极值