2018-北京卷理-01 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交集运算，以及绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）已知集合 $A=\{x\mid |x|<2\}$，$B=\{-2,0,1,2\}$，则 $A\cap B=$()

A. $\{0,1\}$　　B. $\{-1,0,1\}$　　C. $\{-2,0,1,2\}$　　D. $\{-1,0,1,2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 A：解绝对值不等式 $|x|<2$。根据绝对值的几何意义，这代表 $x$ 到原点的距离小于 2，即 $-2<x<2$。

2. 求交集：交集 $A\cap B$ 代表既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素。我们需要在集合 $B$ 的四个元素中，找出满足 $-2<x<2$ 的那几个。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A

【解析过程】

首先解集合 $A$ 中的不等式：

由 $|x|<2$ 得：

$-2<x<2$

即集合 $A=\{x\mid -2<x<2\}$。

已知集合 $B=\{-2,0,1,2\}$。

逐一检查 $B$ 中的元素是否在集合 $A$ 的范围内：

• 当 $x=-2$ 时，$-2<-2$ 不成立，$-2\notin A$。

• 当 $x=0$ 时，$-2<0<2$ 成立，$0\in A$。

• 当 $x=1$ 时，$-2<1<2$ 成立，$1\in A$。

• 当 $x=2$ 时，$-2<2$ 不成立，$2\notin A$。

所以，$A\cap B=\{0,1\}$。

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 易错点：开闭区间：很多同学容易把 $|x|<2$ 误认为是包含端点，从而选错。记住：“$<$”不包含端点，“$\le$”才包含。

2. 符号区分：

• $\cap$：交集（找公共部分）。

• $\cup$：并集（全部合并）。

北京卷的第 1 题几乎每年都在这两个符号和简单不等式之间轮换。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这个简单的口诀来应对所有此类基础题：

• “小在大之间”：$|x|<a⟹-a<x<a$。

• “大在两旁走”：$|x|>a⟹x>a$ 或 $x<-a$。

（前提是 $a>0$）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-02 单-绝对值不等式的解法

• 2004-江苏卷-01 单-集合的表示方法

• 2005-上海卷理-14 单-绝对值不等式的解法