2018-北京卷理-13 填-函数单调性

本题导读

本题考查函数的单调性定义，以及命题的真假判定。

📌【题干】

Question

（2018年北京卷理）能说明“若 $f(x)>f(0)$ 对任意的 $x\in (0,2]$ 都成立，则 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上是增函数”为假命题的一个函数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析原命题：

• 题设：在区间 $(0,2]$ 上，函数值都比起点 $f(0)$ 大。
• 结论：函数在 $[0,2]$ 上单调递增。

2. 寻找反例逻辑： 我们要找一个函数，它满足“所有点都比 $f(0)$ 高”，但它在中间“走下坡路”了。
3. 构造模型：

• 模型 A（二次函数）：开口向下，顶点在 $(0,2)$ 中间。例如顶点在 $x=1$ 处，且 $f(0)$ 足够小。
• 模型 B（分段函数）：在 $x=0$ 处是一个孤立的低点，其余部分递减但仍高于 $f(0)$。
• 模型 C（三角函数）：利用正弦函数的波动性。

✅【答案】

点击查看答案

$f(x)=\sin x$ (答案不唯一，满足条件的均可)

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $f(x)=\sin x$ (答案不唯一，满足条件的均可)

【解析过程】 为了证明原命题为假，我们需要构造一个函数 $f(x)$ 满足：

1. 对任意 $x\in (0,2]$，$f(x)>f(0)$；
2. $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上不是增函数。

尝试反例 1：二次函数 设 $f(x)=-(x-1{)}^2+1$。

• 计算 $f(0)=-(0-1{)}^2+1=0$。

• 在 $x\in (0,2]$ 时，$f(x)$ 的最小值在端点 $x=0$ 或 $x=2$ 处（趋近于 0），由于开口向下且对称轴为 $x=1$，在 $(0,2]$ 上 $f(x)>0$ 恒成立。满足题设。

• 但是，$f(x)$ 在 $[1,2]$ 上是减函数，因此在 $[0,2]$ 上不是增函数。满足结论。

• 整理得：$f(x)=-x^2+2x$。

尝试反例 2：分段函数 设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=0\\ 2-x,& 0<x\le 2\end{array}$

• $f(0)=0$。
• 当 $x\in (0,2]$ 时，$f(x)=2-x\in [0,2)$。虽然包含 $f(2)=0$ 不满足 $f(x)>f(0)$，但我们可以微调为 $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x=0\\ 3-x,& 0<x\le 2\end{array}$。此时 $x\in (0,2]$ 时 $f(x)\in [1,3)$，显然全大于 $f(0)$。
• 显然该函数在 $(0,2]$ 上递减。

尝试反例 3：三角函数 设 $f(x)=\sin x$。

• $f(0)=0$。
• 当 $x\in (0,2]$ 时，因为 $2<\pi$，$\sin x>0$ 恒成立（即 $f(x)>f(0)$）。满足题设。
• 但 $\sin x$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 递增，在 $[\frac{\pi }{2},2]$ 递减（$\frac{\pi }{2}\approx 1.57<2$）。满足结论。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 单调性的严格定义：增函数要求对于区间内任意两个自变量 $x_1<x_2$，都有 $f(x_1)<f(x_2)$。而题干只限制了所有点与 $f(0)$ 的大小关系，没有限制这些点彼此之间的大小关系。
2. “先扬后抑”法：构造反例时，最简单的方法就是找一个有“波峰”的函数，让终点 $f(2)$ 虽然回落了，但还没跌破起点 $f(0)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这类“定义理解”类题目：

• 易混淆点：$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值 $/⟹$ 函数在 $x_0$ 右侧递增。
• 反例库：
  • 绝对值函数 $f(x)=|x-1|$。
  • 常数函数 $f(x)=1$（不满足 $f(x)>f(0)$，但若条件是 $f(x)\ge f(0)$ 则可用）。
  • 震荡函数 $f(x)=x^2\sin (1/x)$（虽然本题区间较大不适用，但在导数题中常用）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-北京卷理-03
• 2010-新课标卷理-05
• 1987-全国卷理-05 单-函数的单调性