2018-天津卷文-02 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及目标函数最值。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\le 5,\\ 2x-y\le 4,\\ -x+y\le 1,\\ y\ge 0,\end{array}$ 则目标函数 $z=3x+5y$ 的最大值为 ()

A. $6$　　　　　　　B. $19$　　　　　　　C. $21$　　　　　　　D. $45$

🔍【思路分析】

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1. 画出约束条件对应的可行域。

2. 求出可行域的各顶点坐标。

3. 将顶点坐标代入目标函数 $z=3x+5y$ 比较得出最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

联立边界方程求出可行域的顶点：

• 直线 $x+y=5$ 与 $-x+y=1$ 交于点 $(2,3)$；

• 直线 $x+y=5$ 与 $2x-y=4$ 交于点 $(3,2)$；

• 直线 $2x-y=4$ 与 $y=0$ 交于点 $(2,0)$；

• 直线 $-x+y=1$ 与 $y=0$ 交于点 $(-1,0)$。

将各顶点坐标代入目标函数 $z=3x+5y$：

• 在 $(2,0)$ 处， $z=3(2)+5(0)=6$；

• 在 $(-1,0)$ 处， $z=3(-1)+5(0)=-3$；

• 在 $(2,3)$ 处， $z=3(2)+5(3)=21$；

• 在 $(3,2)$ 处， $z=3(3)+5(2)=19$。

经比较，最大值为 $21$。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划可行域、目标函数最值。

2. 核心方法：角点检验法。

3. 避坑指南：准确求出交点坐标，避免计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常考题型。

2. 结论推广: 线性目标函数的最值总是在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷I文-16

• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题

• 2005-辽宁卷-20 解-相互独立事件的概率