2018-天津卷文-05 单-对数运算

本题导读

本题考查对数的性质与运算，以及指数幂的大小比较。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）已知 $a={\log }_3\frac{7}{2}$, $b={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{3}}$, $c={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{5}$, 则 $a,b,c$ 的大小关系为 ()

A. $a>b>c$　　B. $b>a>c$　　C. $c>b>a$　　D. $c>a>b$

🔍【思路分析】

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1. 分别判断 $a,b,c$ 与常数 $0$ 和 $1$ 的大小关系。
2. 利用对数函数的单调性比较 $a$ 与 $c$ 的大小。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 $b$: $b={\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{3}}\in (0,1)$；
• 对于 $a$: $a={\log }_3\frac{7}{2}>{\log }_{3}3=1$；
• 对于 $c$: $c={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{5}={\log }_{3}5>{\log }_{3}3=1$。 由此可知 $b$ 最小，即 $b<a$ 且 $b<c$。 接着比较 $a$ 与 $c$: $a={\log }_{3}3.5$, $c={\log }_{3}5$。 因为底数 $3>1$，对数函数 $y={\log }_{3}x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，且 $3.5<5$， 所以 ${\log }_{3}3.5<{\log }_{3}5$，即 $a<c$。 综上所述，三者的大小关系为 $c>a>b$。 故选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数与对数的大小比较。
2. 核心方法：借助特殊值（如 $0,1$) 定性，再用单调性定量。
3. 避坑指南：注意化简对数底数和真数的负号，如 ${\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{5}={\log }_{3}5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数板块中指数对数比较大小的经典基础题。
2. 结论推广: 比较多个指对数合集大小时，通常先按“大于1”、“小于0”、“介于0和1之间”分类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1977-天津-01(2)
• 1978-全国卷-04
• 1983-全国卷理-05