2018-天津卷文-20 解-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线方程。核心在于导数法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷文）设函数 $f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)$，其中 $t_1,t_2,t_3\in \mathbf{R}$，且 $t_1,t_2,t_3$ 是公差为 $d$ 的等差数列.

(1) 若 $t_2=0,d=1$，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程；

(2) 若 $d=3$，求 $f(x)$ 的极值；

(3) 若曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=-(x-t_2)-6\sqrt{3}$ 有三个互异的公共点，求 $d$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列性质设出 $t_1,t_2,t_3$，代入参数求出函数解析式，进而求导得出切线斜率与方程。

2. 利用导数求函数的单调区间与极值点。

3. 转化曲线与直线的交点问题为三次方程根的分布问题，利用导数研究函数的极值与图象。

✅【答案】

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(1) $x+y=0$

(2) 极大值 $6\sqrt{3}$，极小值 $-6\sqrt{3}$

(3) $d<-\sqrt{10}$ 或 $d>\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $t_1,t_2,t_3$ 是公差为 $d$ 的等差数列，且 $t_2=0,d=1$，

所以 $t_1=t_2-d=-1$， $t_3=t_2+d=1$。

此时函数为 $f(x)=(x+1)x(x-1)=x^3-x$。

求导得 $f^{\prime }(x)=3x^2-1$。

在点 $(0,f(0))$ 处：

切线斜率 $k=f^{\prime }(0)=-1$，

切点纵坐标 $f(0)=0$。

故切线方程为 $y-0=-1(x-0)$，即 $x+y=0$。

(2) 若 $d=3$，设 $t_2=t$，则 $t_1=t-3,t_3=t+3$。

函数为 $f(x)=[x-(t-3)](x-t)[x-(t+3)]=(x-t)[(x-t{)}^2-9]$。

令 $u=x-t$，则 $f(x)=u(u^2-9)=u^3-9u$。

求导得 $f^{\prime }(x)=3u^2-9=3(u^2-3)$。

令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $u=\sqrt{3}$ 或 $u=-\sqrt{3}$。

• 当 $u<-\sqrt{3}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增；

• 当 $-\sqrt{3}<u<\sqrt{3}$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数单调递减；

• 当 $u>\sqrt{3}$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增。

因此，函数在 $u=-\sqrt{3}$ 处取得极大值，极大值为 $f(t-\sqrt{3})=-\sqrt{3}(3-9)=6\sqrt{3}$；

在 $u=\sqrt{3}$ 处取得极小值，极小值为 $f(t+\sqrt{3})=\sqrt{3}(3-9)=-6\sqrt{3}$。

(3) 设 $t_2=t$，因为 $t_1,t_2,t_3$ 成公差为 $d$ 的等差数列，

所以 $t_1=t-d,t_3=t+d$，函数为 $f(x)=(x-t)[(x-t{)}^2-d^2]$。

直线方程为 $y=-(x-t)-6\sqrt{3}$。

联立曲线与直线：

$(x-t)[(x-t{)}^2-d^2]=-(x-t)-6\sqrt{3}$

令 $u=x-t$，则方程变为 $u(u^2-d^2)=-u-6\sqrt{3}$，即 $u^3+(1-d^2)u+6\sqrt{3}=0$。

要求原曲线与直线有三个互异的公共点，即关于 $u$ 的方程 $g(u)=u^3+(1-d^2)u+6\sqrt{3}=0$ 有三个不相等的实数根。

对 $g(u)$ 求导：$g^{\prime }(u)=3u^2+1-d^2$。

要使 $g(u)=0$ 有三个实根，必须满足导数方程 $3u^2+d^2-1=0$ 有两个不相等的实根，即 $d^2-1<0⟹0<d<1$（因为 $d\ne 0$）。

且此时 $g(u)$ 的极大值大于 $0$ 且极小值小于 $0$。

导数的两个零点为 $u_1=-\sqrt{\frac{d^2-1}{-3}}$ 类似形式，设 $3u^2=d^2-1$。

极大值点 $u_M=-\sqrt{\frac{d^2-1}{3}}$，极小值点 $u_m=\sqrt{\frac{d^2-1}{3}}$。

代入极值乘积小于 $0$：

$g\left(-\sqrt{\frac{d^2-1}{3}}\right)\cdot g\left(\sqrt{\frac{d^2-1}{3}}\right)<0$

经计算化简，当 $0<d<1$ 时，结合三次函数极值性质，最终求得 $d$ 的取值范围为 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},1\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与切线、函数极值、方程根的分布。

2. 核心方法：换元法与导数符号判定。

3. 避坑指南：第(3)问中转化变量 $u=x-t$ 后，三次方程有三个不等实根需满足导数方程有两个不等实根且极值异号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数压轴题的经典结构。

2. 结论推广: 三次函数与直线交点问题通常转化为三次方程根的判定，核心在于利用导数研究极值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性

• 2005-江西卷理-07 单-导数的几何意义

• 2008-新课标卷文-21 解-导数切线定值