2018-天津卷理-01 单-集合补集

本题导读

本题考查集合的补集运算，以及集合的交集运算。

📌【题干】

Question

（2018年天津卷理）设全集为 $\mathbb{R}$，集合 $A=\{x\mid 0<x<2\}$，$B=\{x\mid x\ge 1\}$，则 $A\cap ({\complement }_{\mathbb{R}}B)=$()

A. $\{x\mid 0<x\le 1\}$　B. $\{x\mid 0<x<1\}$　C. $\{x\mid 1\le x<2\}$　D. $\{x\mid 0<x<2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}B$：

• 集合 $B$ 包含所有大于等于 1 的实数（闭区间 $[1,+\infty )$）。
• 在全集 $\mathbb{R}$ 中，其补集即为所有小于 1 的实数（开区间 $(-\infty ,1)$）。

2. 进行交集运算：

• 找出既在集合 $A$ ($0<x<2$) 中，又在补集 ${\complement }_{\mathbb{R}}B$ ($x<1$) 中的公共部分。

3. 确定端点：

• 注意 $x<1$ 不包含 1，而 $0<x$ 不包含 0，最终结果应为两个开端的区间。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

1. 因为全集为 $\mathbb{R}$，集合 $B=\{x\mid x\ge 1\}$， 根据补集定义，${\complement }_{\mathbb{R}}B=\{x\mid x<1\}$。
2. 已知集合 $A=\{x\mid 0<x<2\}$， 求 $A\cap ({\complement }_{\mathbb{R}}B)$，即求满足 $\{\begin{array}{l}0<x<2\\ x<1\end{array}$ 的 $x$ 的集合。
3. 解得 $0<x<1$。 所以 $A\cap ({\complement }_{\mathbb{R}}B)=\{x\mid 0<x<1\}$。

故本题正确选项为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 补集的端点变换：这是一个经典易错点。若原集合是“$\ge$”（包含端点），则补集一定是“$<$”（不包含端点）；反之亦然。
2. 数轴分析法：对于处理区间形式的集合运算，在草稿纸上画一条数轴，用空心圆点表示不包含，实心圆点表示包含，可以极大提高准确率。
3. 区分符号：注意区分交集 ($\cap$) 找公共部分，与并集 ($\cup$) 找合并部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

在笔记中，可以积累以下等价写法：

• $\{x\mid 0<x<1\}$ 也可以记作开区间 $(0,1)$。
• $\{x\mid 0<x\le 1\}$ 对应半开半闭区间 $(0,1]$。
• 若题目要求 $A\cup B$，则结果为 $\{x\mid 0<x<2\}\cup \{x\mid x\ge 1\}=\{x\mid x>0\}$，即 $(0,+\infty )$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷理-01 单-集合的补集运算
• 1989-全国卷理-01 单-补集与交集
• 2000-新课标理-01 单-映射的概念