2018-江苏卷-17 解-函数应用

本题导读

本题考查实际应用题的数学建模。核心在于数学建模、导数求最值法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 $O$ 的一段圆弧 $MPN$（$P$ 为此圆弧的中点）和线段 $MN$ 构成.已知圆 $O$ 的半径为 $40$ 米，点 $P$ 到 $MN$ 的距离为 $50$ 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 $\text{I}$ 内的地块形状为矩形 $ABCD$，大棚 $\text{II}$ 内的地块形状为 $△CDP$，要求 $A,B$ 均在线段 $MN$ 上，$C,D$ 均在圆弧上.设 $OC$ 与 $MN$ 所成的角为 $\theta$.

(1) 用 $\theta$ 分别表示矩形 $ABCD$ 和 $△CDP$ 的面积，并确定 $\sin \theta$ 的取值范围；

(2) 若大棚 $\text{I}$ 内种植甲种蔬菜，大棚 $\text{II}$ 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4:3$.求当 $\theta$ 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：几何建模与面积表达

• 理清位置关系：圆半径 $R=40$。点 $P$ 在圆弧上，是中点，所以 $OP\perp MN$。已知 $P$ 到 $MN$ 的距离为 50，且 $OP=40$，说明圆心 $O$ 在直线 $MN$ 上方，且 $O$ 到 $MN$ 的距离为 $50-40=10$。
• 利用角 $\theta$ 表示边长：作 $OE\perp BC$ 于 $E$，则 $OE\parallel MN$。在 $Rt△OCE$ 中，$\angle COE=\theta$。从而可得半宽 $OE=40\cos \theta$，高 $CE=40\sin \theta$。
• 计算矩形面积：宽 $CD=2OE=80\cos \theta$。长 $BC=CE+\text{圆心到}MN\text{的距离}=40\sin \theta +10$。两者相乘即为矩形面积。
• 计算三角形面积：底为 $CD=80\cos \theta$。高为 $P$ 到 $CD$ 的距离，即 $OP-CE=40-40\sin \theta$。代入面积公式即可。
• 确定 $\theta$ 的范围：矩形必须存在，点 $C$ 必须在圆弧并在 $MN$ 上方，极限情况是点 $C$ 与点 $N$ 重合，此时利用直角三角形求出临界角的正弦值。

2. 第二问：构建目标函数并求最值

• 建立目标函数：设甲、乙产值分别为 $4k$ 和 $3k$。年总产值 $f(\theta )=4k\cdot S_{矩形}+3k\cdot S_{三角形}$。代入化简后，提取公因式。
• 利用导数求最值：对 $f(\theta )$ 进行求导。导函数中会出现 ${\cos }^2\theta$ 和 ${\sin }^2\theta$，利用 ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta$ 将其统一化为关于 $\sin \theta$ 的二次方程。
• 寻找极值点：令导数为 0，解出 $\sin \theta$。结合第一问求出的取值范围，判断单调性，得出最大值所对应的 $\theta$。

✅【答案】

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(1) 矩形面积 $800(4\sin \theta \cos \theta +\cos \theta )$ 平方米，三角形面积 $1600(\cos \theta -\sin \theta \cos \theta )$ 平方米，$\sin \theta \in [\frac{1}{4},1)$

(2) $\theta =\frac{\pi }{6}$ 时总产值最大

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 连接 $PO$ 并延长交 $MN$ 于 $H$，则 $PH\perp MN$。 已知 $PH=50$，圆的半径 $OP=40$， 所以圆心 $O$ 到 $MN$ 的距离 $OH=50-40=10$。

过 $O$ 作 $OE\perp BC$ 于 $E$，则 $OE\parallel MN$。 因为 $OC$ 与 $MN$ 所成角为 $\theta$，且 $OE\parallel MN$，所以 $\angle COE=\theta$。 在 $Rt△OCE$ 中，$OC=40$， 故 $OE=40\cos \theta$，$EC=40\sin \theta$。 根据对称性，矩形的宽 $CD=2OE=80\cos \theta$。 矩形的长 $BC=CE+EB=40\sin \theta +OH=40\sin \theta +10$。 则矩形 $ABCD$ 的面积为： $S_{ABCD}=80\cos \theta (40\sin \theta +10)=800(4\sin \theta \cos \theta +\cos \theta )$

对于 $△CDP$，其底边长为 $CD=80\cos \theta$。 $CD$ 边上的高为 $OP-EC=40-40\sin \theta$。 则 $△CDP$ 的面积为： $S_{△CDP}=\frac{1}{2}\times 80\cos \theta \times (40-40\sin \theta )=1600(\cos \theta -\sin \theta \cos \theta )$

确定 $\sin \theta$ 的取值范围： 过 $N$ 作 $GN\perp MN$，分别交圆弧和 $OE$ 的延长线于 $G$ 和 $K$，则 $GK=KN=OH=10$。 当点 $C$ 恰好与点 $N$ 重合时，设此时的角为 ${\theta }_0$。 在 $Rt△OKN$ 中，$ON=40$，垂直边长为 $10$， 所以 $\sin {\theta }_0=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$，此时 ${\theta }_0\in \left(0,\frac{\pi }{6}\right)$。 要使能作出满足条件的矩形 $ABCD$，必须有 $\theta \in \left[{\theta }_0,\frac{\pi }{2}\right)$。 所以 $\sin \theta$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{4},1\right)$。

答： 矩形 $ABCD$ 的面积为 $800(4\sin \theta \cos \theta +\cos \theta )$ 平方米，$△CDP$ 的面积为 $1600(\cos \theta -\sin \theta \cos \theta )$ 平方米。$\sin \theta$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{4},1\right)$。

(2) 因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 $4:3$， 设甲的单位面积年产值为 $4k$，乙的单位面积年产值为 $3k$（$k>0$）， 则年总产值为： $F(\theta )=4k\times 800(4\sin \theta \cos \theta +\cos \theta )+3k\times 1600(\cos \theta -\sin \theta \cos \theta )$ $=3200k(4\sin \theta \cos \theta +\cos \theta )+4800k(\cos \theta -\sin \theta \cos \theta )$ 提取公因式 $8000k$ 得： $F(\theta )=8000k(\sin \theta \cos \theta +\cos \theta )$ 其中 $\theta \in \left[{\theta }_0,\frac{\pi }{2}\right)$。

设 $f(\theta )=\sin \theta \cos \theta +\cos \theta$，求导： $f^{\prime }(\theta )=(\cos \theta )\cos \theta +(\sin \theta )(-\sin \theta )-\sin \theta$ $={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta -\sin \theta$ 将 ${\cos }^2\theta$ 替换为 $1-{\sin }^2\theta$： $f^{\prime }(\theta )=1-2{\sin }^2\theta -\sin \theta$ 因式分解得： $f^{\prime }(\theta )=-(2{\sin }^2\theta +\sin \theta -1)=-(2\sin \theta -1)(\sin \theta +1)$

令 $f^{\prime }(\theta )=0$，因为 $\sin \theta +1>0$，所以 $2\sin \theta -1=0⟹\sin \theta =\frac{1}{2}$。 因为 $\theta \in \left[{\theta }_0,\frac{\pi }{2}\right)$ 且 $\sin {\theta }_0=\frac{1}{4}$，所以解得 $\theta =\frac{\pi }{6}$。 列表分析单调性： 当 $\theta \in \left({\theta }_0,\frac{\pi }{6}\right)$ 时，$\sin \theta <\frac{1}{2}$，此时 $2\sin \theta -1<0$，$f^{\prime }(\theta )>0$，函数 $f(\theta )$ 单调递增； 当 $\theta \in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$ 时，$\sin \theta >\frac{1}{2}$，此时 $2\sin \theta -1>0$，$f^{\prime }(\theta )<0$，函数 $f(\theta )$ 单调递减。

因此，当 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 时，$f(\theta )$ 取得极大值，也是该区间上的最大值。

答： 当 $\theta =\frac{\pi }{6}$ 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 应用题的破题核心：高考应用题往往第一步是“翻译”。必须仔细阅读题目中的几何特征，通过辅助线（如此处的 $OE$）构造直角三角形，将抽象的面积转化为关于同一个变量 $\theta$ 的三角函数表达式。
2. 导数中的三角变形：在对含三角函数的解析式求导后，通常会得到一个同时含有 $\sin$ 和 $\cos$ 的式子。核心技巧是利用 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ 进行“化同名”，将导函数转化为关于 $\sin \theta$ 或 $\cos \theta$ 的二次函数，进而通过因式分解求出零点。
3. 实际意义的自变量范围：这是应用题最容易扣分的地方。自变量的取值范围绝不能仅仅看函数解析式，而必须符合实际的几何意义（如本题中矩形必须“长出来”，即 $C$ 点不能掉出圆弧边界）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II理-04
• 2009-江西卷理-05
• 2009-辽宁卷-07