2018-江苏卷-21C 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化。核心在于直角坐标转化法、极坐标几何性质法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2018年江苏卷）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分. C.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $\rho \sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)=2$，曲线 $C$ 的方程为 $\rho =4\cos \theta$，求直线 $l$ 被曲线 $C$ 截得的弦长.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别曲线 $C$：

• 方程 $\rho =4\cos \theta$ 是圆的经典极坐标形式。
• 它的直角坐标方程为 $x^2+y^2=4x$，即 $(x-2{)}^2+y^2=4$。
• 这是一个圆心在 $(2,0)$（直角坐标），半径为 $2$，直径为 $4$ 且经过极点 $O$ 的圆。

2. 转化直线 $l$：

• 展开左侧：$\rho (\sin \frac{\pi }{6}\cos \theta -\cos \frac{\pi }{6}\sin \theta )=2$。
• 代入 $\rho \cos \theta =x,\rho \sin \theta =y$：$\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y=2$，即 $x-\sqrt{3}y-4=0$。

3. 计算弦长（核心）：

• 方法一（代数法）：求圆心 $(2,0)$ 到直线 $l$ 的距离 $d$，利用弦长公式 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$ 求解。
• 方法二（几何法）：观察直线方程发现，当 $x=4,y=0$ 时满足直线方程，而 $(4,0)$ 恰好是圆 $C$ 的一个端点（也是圆与 $x$ 轴的交点）。通过构造直径所对的圆周角（直角），在直角三角形中直接求出另一条直角边（即弦长）。

✅【答案】

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弦长为 $2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 方法一：转化直角坐标法（通法） 将曲线 $C$ 的方程 $\rho =4\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$，得 ${\rho }^2=4\rho \cos \theta$。 由 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$，可得直角坐标方程： $x^2+y^2=4x⟹(x-2{)}^2+y^2=4$ 此曲线为圆心在 $C(2,0)$，半径 $R=2$ 的圆。

对于直线 $l$，由 $\rho \sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)=2$ 展开得： $\rho \left(\sin \frac{\pi }{6}\cos \theta -\cos \frac{\pi }{6}\sin \theta \right)=2$ $\frac{1}{2}\rho \cos \theta -\frac{\sqrt{3}}{2}\rho \sin \theta =2⟹x-\sqrt{3}y-4=0$ 圆心 $C(2,0)$ 到直线 $l$ 的距离为： $d=\frac{|2-\sqrt{3}\times 0-4|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{2}{2}=1$ 根据弦长公式，直线 $l$ 被曲线 $C$ 截得的弦长为： $L=2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{2^2-1^2}=2\sqrt{3}$

方法二：极坐标几何性质法（巧解） 曲线 $C:\rho =4\cos \theta$ 是以 $OA$ 为直径的圆，其中极点 $O(0,0)$，点 $A$ 的极坐标为 $(4,0)$。

在直线 $l$ 的方程 $\rho \sin \left(\frac{\pi }{6}-\theta \right)=2$ 中， 令 $\theta =0$，得 $\rho \sin \frac{\pi }{6}=2⟹\rho =4$。 说明点 $A(4,0)$ 就在直线 $l$ 上，即 $A$ 是直线与圆的一个交点。 设另一个交点为 $B$，连接 $OB$。 因为 $OA$ 是圆的直径，所以 $\angle OBA=\frac{\pi }{2}$。 直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x-\sqrt{3}y-4=0$，其斜率为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$，倾斜角为 $30^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{6}$）。 则直线 $l$ 与 $x$ 轴的夹角 $\angle OAB=\frac{\pi }{6}$。 在 $Rt△OBA$ 中，$OA=4$： $AB=OA\cdot \cos \angle OAB=4\cos \frac{\pi }{6}=4\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$ 因此，弦长为 $2\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 极坐标转换公式：$x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2,\tan \theta =\frac{y}{x}$。这是处理此类题目的保底手段。
2. 圆的极坐标方程识别：

• $\rho =a$：圆心在原点，半径为 $a$ 的圆。
• $\rho =2R\cos \theta$：过原点，圆心在极轴上 $(R,0)$，直径为 $2R$ 的圆。
• $\rho =2R\sin \theta$：过原点，圆心在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 轴上 $(R,\frac{\pi }{2})$，直径为 $2R$ 的圆。

3. 弦长公式的选择：如果计算出的距离 $d$ 或半径 $R$ 是整齐的数值，代数法 $2\sqrt{R^2-d^2}$ 极快；如果发现直线过圆的边缘点（如本题过 $A$），几何法更具美感。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以积累这个极简结论： 对于直线 $l:\rho \sin (\alpha -\theta )=h$。

• 这个方程的几何意义是：极点 $O$ 到这条直线的距离恒等于 $h$。
• 本题中 $h=2$，半径 $R=2$，意味着直线到极点的距离正好等于半径。结合圆过极点这一事实，这再次印证了极点到直线的垂线段、弦、直径之间构成的特殊几何关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 1994-全国卷理-03
• 1983-全国卷理-06(2)