2018-浙江卷-12 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2018年浙江卷）若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y\ge 0\\ 2x+y\le 6\\ x+y\ge 2\end{array}$，则 $z=x+3y$ 的最小值是 $\underline{}$，最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：在平面直角坐标系中，画出三条直线 $x-y=0$，$2x+y=6$，$x+y=2$。根据不等号方向确定阴影区域。

2. 确定顶点坐标：

   • 解 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=2\end{array}⟹A(1,1)$

   • 解 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ 2x+y=6\end{array}⟹B(2,2)$

   • 解 $\{\begin{array}{l}2x+y=6\\ x+y=2\end{array}⟹C(4,-2)$

3. 分析目标函数：将 $z=x+3y$ 变形为 $y=-\frac{1}{3}x+\frac{z}{3}$。这是一个斜率为 $-\frac{1}{3}$ 的动直线，其纵截距 $\frac{z}{3}$ 随 $z$ 的增大而增大。

4. 寻找最优解：通过平移直线，观察其穿过可行域时截距的最大和最小值点。

✅【答案】

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-2；8

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 -2；8

【解析过程】

1. 求可行域顶点：

   由约束条件画出可行域（三角形区域），其三个顶点分别为：

   • $A(1,1)$

   • $B(2,2)$

   • $C(4,-2)$

2. 代入顶点计算 $z$ 值：

   • 当经过点 $A(1,1)$ 时，$z=1+3(1)=4$；

   • 当经过点 $B(2,2)$ 时，$z=2+3(2)=8$；

   • 当经过点 $C(4,-2)$ 时，$z=4+3(-2)=-2$。

3. 比较结果：

   由此可知，$z$ 的最大值为 $8$，最小值为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 数形结合：线性规划的核心是将代数问题转化为几何中的直线平移问题。

2. 截距与最值：注意目标函数中 $y$ 的系数。若 $y$ 的系数为正，则最大值对应直线的最高截距；若为负，则反之。

3. 计算纠错：

   • ⚠️ 注意：原解析中 $B$ 点坐标计算可能因手误写为 $(4,-2)$，在录入时需校对交点。经校验，$2x+y=6$ 与 $x+y=2$ 的交点确实为 $(4,-2)$。

   • 浙江卷常见陷阱：目标函数系数可能含参，或者可行域是不封闭区域。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以记下这个口诀：

• 直线画边界，原点定方向（判断不等式区域）；

• 顶点出最值，平移看截距。

  如果目标函数是 $z=ax+by$ 型，且可行域为凸多边形，最值一定在顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解
• 2015-北京卷理-2
• 2015-广东卷理-6