2019-上海卷-17 解-线面角

本题导读

本题考查直线与平面所成的角。核心在于坐标法、几何法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年上海卷）如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$M$ 为 $B{B}_1$ 上一点，已知 $BM=2,AD=4,CD=3,A{A}_1=5$。

(1)求直线 $A_{1}C$ 与平面 $ABCD$ 的夹角；

(2)求点 $A$ 到平面 $A_{1}MC$ 的距离。

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面角）：

• 确定投影：由于 $A_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $A_{1}C$ 在平面 $ABCD$ 上的投影为 $AC$。

• 寻找夹角：$\angle A_{1}CA$ 即为所求的直线与平面所成的角。

• 计算数值：在 $Rt△A_{1}AC$ 中利用边长比例求解。

2. 第二问（点面距离）：

• 法一（坐标向量法）：以 $A$ 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 $A_{1}MC$ 的法向量 $\vec{n}$，利用公式 $d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 求解。

• 法二（等体积法）：利用 $V_{A-A_{1}MC}=V_{M-A_{1}AC}$（或类似转化）进行体积置换，通过底面积和体积反推高（距离）。

✅【答案】

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(1)夹角为 $\frac{\pi }{4}$。

(2)距离为 $\frac{10}{3}$。

✍【详细解析】

Abstract

(1)解：

依题意，$A_{1}A\perp$ 平面 $ABCD$，连接 $AC$，则 $A_{1}C$ 与平面 $ABCD$ 所成的夹角为 $\angle A_{1}CA$。

在 $Rt△ABC$ 中，$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。

又 $A_{1}A=5$，

所以在 $Rt△A_{1}AC$ 中，$\tan \angle A_{1}CA=\frac{A_{1}A}{AC}=\frac{5}{5}=1$。

则 $\angle A_{1}CA=\frac{\pi }{4}$。

即直线 $A_{1}C$ 与平面 $ABCD$ 的夹角为 $\frac{\pi }{4}$。

(2)解：

法一（空间向量法）：

如图建立空间直角坐标系 $A-xyz$，其中 $AB$ 为 $x$ 轴，$AD$ 为 $y$ 轴，$A{A}_1$ 为 $z$ 轴。

则各点坐标为：$A(0,0,0),C(3,4,0),A_1(0,0,5),M(3,0,2)$。

向量 $\overrightarrow{AC}=(3,4,0)$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(3,4,-5)$，$\overrightarrow{MC}=(0,4,-2)$。

设平面 $A_{1}MC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则：

$\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{A_{1}C}=3x+4y-5z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{MC}=4y-2z=0\end{array}$

取 $z=2$，得 $y=1,x=2$，即 $\vec{n}=(2,1,2)$。

点 $A$ 到平面 $A_{1}MC$ 的距离 $d$ 为 $\overrightarrow{AC}$ 在法向量 $\vec{n}$ 方向上投影的绝对值：

$d=\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|3\times 2+4\times 1+0\times 2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=\frac{10}{3}$。

法二（等体积法）：

利用 $V_{A-A_{1}MC}=V_{A_1-AMC}$ 求解。

先求 $S_{△AMC}$，需计算三边长：$AM=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13},MC=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20},A_{1}C=5\sqrt{2}$。

利用余弦定理求出面积后再利用体积公式 $d=\frac{3V}{S}$ 求解。（计算过程较繁琐，推荐向量法）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 垂直关系的判定：长方体提供了天然的垂直坐标系，是使用向量法的最佳场景。

• 距离公式的理解：点到平面的距离公式中，分子是平面外一点到平面内任一点连成的向量与法向量的数量积，不一定非要选 $\overrightarrow{AC}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比点面距离的两种逻辑：

• 几何思维（等体积法）：不需要坐标系，核心在于寻找合适的底面使高容易表达。

• 代数思维（向量法）：只要坐标找对，完全程序化计算，适合处理非特殊位置的距离问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2022-新高考I卷-19 解-立几综合

• 2004-江苏卷-18 解-正方体的几何性质

• 2005-江西卷理-20 解-空间线面垂直的判定与性质