2019-全国卷I文-10 单-双曲线渐近线

本题导读

本题考查双曲线的渐近线，以及双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的一条渐近线的倾斜角为 $130^{\circ }$，则 $C$ 的离心率为 ()

A. $2\sin 40^{\circ }$　　　　　B. $2\cos 40^{\circ }$　　　　　C. $\frac{1}{\sin 50^{\circ }}$　　　　　D. $\frac{1}{\cos 50^{\circ }}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 双曲线的一条渐近线方程为 $y=\frac{b}{a}x$，其斜率为 $k=\frac{b}{a}=\tan 130^{\circ }$。
2. 结合诱导公式化简斜率：$\tan 130^{\circ }=-\tan 50^{\circ }$（或利用正余弦表示），进而通过 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$ 求解离心率。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，故其中一条渐近线的斜率为 $k=\frac{b}{a}$。 因为该渐近线的倾斜角为 $130^{\circ }$， 所以 $\frac{b}{a}=\tan 130^{\circ }=-\tan 50^{\circ }$（此变形不直接对应选项，考虑变形为正余弦）。 或者由斜率 $k=\tan 130^{\circ }=-\tan (180^{\circ }-50^{\circ })$，由于渐近线斜率应为正，双曲线两条渐近线斜率分别为 $\pm \frac{b}{a}$，故 $\frac{b}{a}=|\tan 130^{\circ }|=\tan 50^{\circ }$ 显然不对（因为 $130^{\circ }$ 是钝角，正切值为负，而 $\frac{b}{a}>0$，所以另一条渐近线倾斜角为 $180^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$，其斜率为 $\tan 50^{\circ }$）。 因此 $\frac{b}{a}=\tan 50^{\circ }=\frac{\sin 50^{\circ }}{\cos 50^{\circ }}$。 离心率 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+{\tan }^{2}50^{\circ }}=\sqrt{\frac{1}{{\cos }^{2}50^{\circ }}}=\frac{1}{\cos 50^{\circ }}$。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线性质与离心率公式 $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。
2. 核心方法：斜率与三角函数关系转化。
3. 避坑指南：注意倾斜角为钝角时，渐近线斜率 $\frac{b}{a}$ 对应另一条倾斜角为锐角 $50^{\circ }$ 的渐近线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线基本量计算经典题。
2. 结论推广: 熟练掌握三角函数恒等式在圆锥曲线中的应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2013-江苏卷-03 填-渐近线