2019-全国卷I文-16 填-线面距离

本题导读

本题考查线面距离，以及空间几何体中的距离计算。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）已知 $\angle ACB=90^{\circ }$，$P$ 为平面 $ABC$ 外一点，$PC=2$，点 $P$ 到 $\angle ACB$ 两边 $AC$，$BC$ 的距离均为 $\sqrt{3}$，那么 $P$ 到平面 $ABC$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $P$ 在平面 $ABC$ 上的射影为 $O$，根据点 $P$ 到 $AC,BC$ 距离相等，可推知 $O$ 在 $\angle ACB$ 的平分线上。
2. 结合勾股定理或直角三角形性质，利用 $PC=2$ 及射影长建立方程求解。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设点 $P$ 在平面 $ABC$ 上的射影为 $O$，连接 $OC$。 由点 $P$ 到 $AC$、$BC$ 的距离均为 $\sqrt{3}$，且 $AC\perp BC$，根据线面垂直的性质（三垂线定理）， 可知 $O$ 到 $AC$、$BC$ 的距离也相等，从而 $CO$ 平分 $\angle ACB$，即 $\angle ACO=45^{\circ }$。 设 $P$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $h$，即 $PO=h$。 在 Rt$△POC$ 中，由 $PC=2$，$PO=h$，得 $OC=\sqrt{P{C}^2-P{O}^2}=\sqrt{4-h^2}$。 过 $O$ 作 $OD\perp AC$ 于 $D$，则 $OD$ 即为 $O$ 到 $AC$ 的距离。 在 Rt$△OCD$ 中，$\angle OCD=45^{\circ }$，故 $OD=OC\cdot \sin 45^{\circ }=\sqrt{4-h^2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}$。 在 Rt$△POD$ 中，$PD$ 为 $P$ 到 $AC$ 的距离（已知为 $\sqrt{3}$）， 由勾股定理 $P{D}^2=P{O}^2+O{D}^2$，得： $(\sqrt{3}{)}^2=h^2+{\left(\sqrt{4-h^2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ $3=h^2+\frac{4-h^2}{2}=h^2+2-\frac{1}{2}{h}^2=\frac{1}{2}{h}^2+2$， 解得 $\frac{1}{2}{h}^2=1⟹h^2=2⟹h=\sqrt{2}$。 故答案为：$\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间点到平面的距离。
2. 核心方法：利用射影及三垂线定理寻找平面图形中的几何关系。
3. 避坑指南：准确理解点到直线的距离与射影的关系，合理运用直角三角形勾股定理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何填空压轴题。
2. 结论推广: 熟练掌握空间中距离转化为直角三角形边长的通性通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2004-辽宁卷-15 填-空间中直线与平面的距离
• 2009-北京卷理-04
• 2010-重庆卷理-19