2019-全国卷I文-23 解-基本不等式

本题导读

本题考查均值不等式。核心在于转换法（利用已知条件简化目标式）、连续使用基本不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(文)）已知 $a,b,c$ 为正数，且满足 $abc=1$．证明：

(1)$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$；

(2)$(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$．

🔍【思路分析】

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1. 第一问 (证明分式与平方和的关系)：

   • 观察条件：已知 $abc=1$，则 $\frac{1}{a}=bc$，$\frac{1}{b}=ac$，$\frac{1}{c}=ab$。

   • 转化目标：要证 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$，等价于证 $ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2$。

   • 运用不等式：利用经典不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$ 的变式即可得证。

2. 第二问 (证明立方和的下界)：

   • 策略一：对左边三项使用算术-几何平均不等式（$x^3+y^3+z^3\ge 3xyz$）。

   • 策略二：对每一个括号内部使用基本不等式（$a+b\ge 2\sqrt{ab}$）。

   • 整合：结合上述两步，利用 $abc=1$ 消除变量，最后检查等号成立的条件（$a=b=c=1$）。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)证明见解析。

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$

因为 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，

所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=ab+bc+ca$。

由基本不等式可知：

$a^2+b^2\ge 2ab$

$b^2+c^2\ge 2bc$

$c^2+a^2\ge 2ca$

将上述三个不等式相加得：

$2(a^2+b^2+c^2)\ge 2(ab+bc+ca)$

即 $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$。

当且仅当 $a=b=c=1$ 时，等号成立。

故 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le a^2+b^2+c^2$ 得证。

(2)证明：$(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 24$

因为 $a,b,c>0$，由算术-几何平均不等式得：

$(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 3\sqrt[3]{(a+b{)}^3(b+c{)}^3(c+a{)}^3}$

即 $(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 3(a+b)(b+c)(c+a)$． ①

又因为 $a,b,c$ 均为正数，由基本不等式 $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ 得：

$a+b\ge 2\sqrt{ab}$

$b+c\ge 2\sqrt{bc}$

$c+a\ge 2\sqrt{ca}$

将这三个式子相乘得：

$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 2\sqrt{bc}\cdot 2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2{b}^2{c}^2}=8abc$． ②

由于 $abc=1$，代入 ② 式得：

$(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8$．

将此结果代入 ① 式得：

$(a+b{)}^3+(b+c{)}^3+(c+a{)}^3\ge 3\times 8=24$．

当且仅当 $a=b=c=1$ 时，所有等号同时成立。

故原不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 条件利用：$abc=1$ 是解决本题的“钥匙”。在分式不等式中，它常用于齐次化或消元。

• 等号成立条件：证明不等式时，必须检查等号成立的条件是否一致。本题中第一问和第二问的每一处不等式运用，等号均在 $a=b=c=1$ 时成立，逻辑严密。

• 层级思维：第二问展示了不等式的级联使用：先整体（立方项），后局部（括号内）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-20 解-椭圆圆弦长最值
• 2013-福建卷文-07 单-指数和取值范围
• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式