2019-全国卷I理-03 单-指数函数

本题导读

本题考查指数函数的单调性，以及对数函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）已知 $a={\log }_{2}0.2$，$b=2^{0.2}$，$c=0.2^{0.3}$，则()

A. $a<b<c$　　B. $a<c<b$　　C. $c<a<b$　　D. $b<c<a$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找参照值：在比较不同底数、不同类型的幂与对数时，通常选择 0 和 1 作为“标尺”来划分各数值所在的区间。

2. 分析 $a$：$a={\log }_{2}0.2$。底数 $2>1$，对数函数 $y={\log }_{2}x$ 为增函数。由于真数 $0.2<1$，故 $a<{\log }_{2}1=0$。

3. 分析 $b$：$b=2^{0.2}$。底数 $2>1$，指数函数 $y=2^x$ 为增函数。由于指数 $0.2>0$，故 $b>2^0=1$。

4. 分析 $c$：$c=0.2^{0.3}$。底数 $0.2\in (0,1)$，指数函数 $y=0.2^x$ 为减函数。由于指数 $0.3>0$，故 $c<0.2^0=1$。同时由于指数幂结果恒正，有 $0<c<1$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】

第一步：确定 $a$ 的范围

对于对数函数 $f(x)={\log }_{2}x$，由于底数 $2>1$，该函数在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

因为 $0.2<1$，所以 $f(0.2)<f(1)$，即 ${\log }_{2}0.2<{\log }_{2}1=0$。

由此得出：$a<0$。

第二步：确定 $b$ 的范围

对于指数函数 $g(x)=2^x$，由于底数 $2>1$，该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。

因为 $0.2>0$，所以 $g(0.2)>g(0)$，即 $2^{0.2}>2^0=1$。

由此得出：$b>1$。

第三步：确定 $c$ 的范围

对于指数函数 $h(x)=0.2^x$，由于底数 $0.2\in (0,1)$，该函数在 $\mathbb{R}$ 上单调递减。

因为 $0.3>0$，所以 $h(0.3)<h(0)$，即 $0.2^{0.3}<0.2^0=1$。

又因指数幂结果恒大于 0，故 $0<c<1$。

第四步：综合排序

综合上述结论：$a<0$，$0<c<1$，$b>1$。

按从小到大排列为：$a<c<b$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心工具：中间值法是解决比较大小问题的首选。0 区分正负，1 区分真分数与假分数（或增减趋势的分界）。

• 常见误区：在处理 $c=0.2^{0.3}$ 时，容易忽略底数小于 1 导致函数单调性反转的特点。

• 直观理解：

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 同底化：若底数相同，直接利用单调性。

2. 同指化：若指数相同，通过构造幂函数图像比较。

3. 作商法/作差法：适用于结构相似的数值。

4. 特征点法：如比较 ${\log }_{3}4$ 与 ${\log }_{2}3$，可以引入 ${\log }_{2}2=1$ 或利用换底公式结合不等式 $x>\ln (1+x)$ 进行深度判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1983-全国卷理-05
• 1990-全国卷理-26 解-对数函数与不等式
• 1991-全国卷理-17