2019-全国卷I理-04 单-黄金分割

本题导读

本题考查黄金分割比例的应用，以及比例式的建立与估算。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ ($\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至咽喉的长度为 26 cm，则其身高可能是()

A. 165 cm　　　　B. 175 cm　　　　C. 185 cm　　　　D. 190 cm

🔍【思路分析】

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1. 明确解剖结构与比例关系：

• 关系①：$\frac{\text{头顶至肚脐}}{\text{肚脐至足底}}\approx 0.618$
• 关系②：$\frac{\text{头顶至咽喉}}{\text{咽喉至肚脐}}\approx 0.618$

2. 设定变量与建模：

• 已知：头顶至咽喉 = 26 cm，腿长 = 105 cm。
• 根据关系②求出“咽喉至肚脐”的长度。
• 将“头顶至咽喉”与“咽喉至肚脐”相加，得到“头顶至肚脐”的总长。
• 根据关系①求出“肚脐至足底”的长度。

3. 合理估算：将各部分长度相加得到总身高，并对比选项。注意“肚脐至足底”应略大于“腿长”。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 第一步：求咽喉至肚脐的长度 根据第二个黄金分割比例： $\frac{\text{头顶至咽喉}}{\text{咽喉至肚脐}}=\frac{26}{\text{咽喉至肚脐}}\approx 0.618$ 解得：咽喉至肚脐 $\approx \frac{26}{0.618}\approx 42.07$ cm。

第二步：求头顶至肚脐的长度 头顶至肚脐 = 头顶至咽喉 + 咽喉至肚脐 头顶至肚脐 $\approx 26+42.07=68.07$ cm。

第三步：求肚脐至足底的长度 根据第一个黄金分割比例： $\frac{\text{头顶至肚脐}}{\text{肚脐至足底}}=\frac{68.07}{\text{肚脐至足底}}\approx 0.618$ 解得：肚脐至足底 $\approx \frac{68.07}{0.618}\approx 110.15$ cm。

第四步：计算总身高 身高 = 头顶至肚脐 + 肚脐至足底 身高 $\approx 68.07+110.15=178.22$ cm。

第五步：对比选项 题目已知腿长为 105 cm，计算得出的“肚脐至足底”为 110.15 cm，多出的约 5 cm 符合人体解剖逻辑（肚脐到腿根的距离）。 在选项中，178.22 cm 最接近 175 cm。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数学文化内涵：本题考查学生提取信息并快速建立比例方程的能力，强调数学的应用性。
• 估算技巧：高考选择题中，利用 $0.6$ 进行快速口算排除错误选项通常更高效。
• 解题误区：部分考生可能将比例列反，或忽略了人体各部分长度的相加逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 摄影艺术：黄金分割线能引导观众视线，增加画面平衡感。
2. 植物学：向日葵种子的排列、树叶的生长角度常与黄金比例相关。
3. 建筑设计：如帕特农神庙的正面宽与高的比例接近黄金比。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-07 单-球与内接正方体
• 2013-陕西卷文-14 填-内接矩形最值