2019-全国卷I理-11 单-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性判定，以及绝对值函数的分段化简。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷I(理)）关于函数 $f(x)=\sin |x|+|\sin x|$ 有下述四个结论：

① $f(x)$ 是偶函数；

② $f(x)$ 在区间 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 单调递增；

③ $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 有 4 个零点；

④ $f(x)$ 的最大值为 2。

其中所有正确结论的编号是()

A. ①②④　　　　　　B. ②④　　　　　　C. ①④　　　　　　D. ①③

🔍【思路分析】

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1. 判定奇偶性 (①)：验证 $f(-x)$ 是否等于 $f(x)$。由于 $|-x|=|x|$ 且 $|\sin (-x)|=|-\sin x|=|\sin x|$，结论显而易见。

2. 化简分段函数：

   • 当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=\sin x+|\sin x|$。

     • 若 $x\in [0,\pi ]$，$\sin x\ge 0⟹f(x)=2\sin x$。

     • 若 $x\in (\pi ,2\pi )$，$\sin x<0⟹f(x)=0$。

   • 根据偶函数性质，可推导 $x<0$ 时的情形。

3. 判定单调性 (②)：在区间 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 内，$f(x)=2\sin x$，利用正弦函数单调性即可判断。

4. 寻找零点 (③)：在 $[-\pi ,\pi ]$ 范围内，观察 $f(x)=0$ 的解。

5. 求最值 (④)：观察分段后的函数值域。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

第一步：判定结论 ①（奇偶性）

因为 $f(-x)=\sin |-x|+|\sin (-x)|=\sin |x|+|-\sin x|=\sin |x|+|\sin x|=f(x)$，

所以 $f(x)$ 是偶函数，结论 ① 正确。

第二步：分段讨论 $x\in [0,\pi ]$ 的情况

当 $x\in [0,\pi ]$ 时，$\sin x\ge 0$，此时 $f(x)=\sin x+\sin x=2\sin x$。

• 验证结论 ②（单调性）：

  在区间 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 上，$f(x)=2\sin x$。由正弦函数性质知，此区间内函数单调递减。故结论 ② 错误。

• 验证结论 ④（最大值）：

  在 $[0,\pi ]$ 上，$f(x)=2\sin x$ 的最大值为 $f(\frac{\pi }{2})=2$。当 $x$ 在其他区间（如 $\sin x<0$ 时），$f(x)=0$。结合偶函数对称性，$f(x)$ 的全局最大值为 2。故结论 ④ 正确。

第三步：判定结论 ③（零点）

在区间 $[0,\pi ]$ 上，$f(x)=2\sin x$，令 $f(x)=0$ 得 $x=0$ 或 $x=\pi$。

由于 $f(x)$ 是偶函数，当 $x\in [-\pi ,0]$ 时，零点对应为 $x=0$ 或 $x=-\pi$。

综合可知，在 $[-\pi ,\pi ]$ 上的零点为 $\{-\pi ,0,\pi \}$，共 3 个。故结论 ③ 错误。

综上所述，①④ 正确。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 绝对值的处理：遇到 $|x|$ 或 $|\sin x|$，分段讨论（找零界点）是标准动作。

• 数形结合：本题如果能脑补出图像：在 $[0,\pi ]$ 是高为 2 的波峰，在 $[\pi ,2\pi ]$ 是横在 $x$ 轴上的直线，再关于 $y$ 轴对称，所有结论一目了然。

• 易错点：零点判定时，容易重复计算原点 $0$ 或忽略端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. $y=|\sin x|$：周期减半，变为 $\pi$；值域变为 $[0,1]$。

2. $y=\sin |x|$：偶函数；在 $y$ 轴右侧保留 $y=\sin x$ 图像，左侧翻折。

3. 本题模型：$f(x)=\sin x+|\sin x|$ 是典型的“截断平流”模型，常用于考查函数的有界性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16