2019-全国卷II文-17 解-几何体性质

本题导读

本题考查长方体的几何性质。核心在于几何法、等体积转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(文)）如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的底面 $ABCD$ 是正方形，点 $E$ 在棱 $A{A}_1$ 上，$BE\perp E{C}_1$。

(1) 证明：$BE\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_1$；

(2) 若 $AE=A_{1}E$，$AB=3$，求四棱锥 $E-B{B}_1{C}_{1}C$ 的体积。

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问证明线面垂直，需在平面 $E{B}_1{C}_1$ 内找两条相交直线与 $BE$ 垂直。已知 $BE\perp E{C}_1$，可结合长方体性质证明 $BE\perp E{B}_1$。
2. 第(2)问求四棱锥体积，底面为矩形 $B{B}_1{C}_{1}C$，高可转化为点 $E$ 到平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的距离（即 $AB$ 的长度）。

✅【答案】

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(1)证明见解析。

(2)体积为 $6$。

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$B_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$，而 $BE\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$， 所以 $B_1{C}_1\perp BE$。 又因为已知 $BE\perp E{C}_1$，且 $B_1{C}_1\cap E{C}_1=C_1$， 所以 $BE\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_1$。

(2) 解： 因为 $BE\perp$ 平面 $E{B}_1{C}_1$，所以 $BE\perp E{B}_1$，即 $△EB{B}_1$ 是直角三角形。 设 $AB=3$，则 $B{B}_1=A{A}_1=2AE=2$（由 $AE=A_{1}E$ 得 $A{A}_1=2AE$）。 在 Rt$△ABE$ 中，$AB=3$，$AE=1$，故 $BE=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。 四棱锥 $E-B{B}_1{C}_{1}C$ 的底面为矩形 $B{B}_1{C}_{1}C$，其面积为 $S_{B{B}_1{C}_{1}C}=B{B}_1\times BC=2\times 3=6$。 点 $E$ 到平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 的距离即为 $AB=3$。 因此，四棱锥的体积为： $V_{E-B{B}_1{C}_{1}C}=\frac{1}{3}\times S_{B{B}_1{C}_{1}C}\times AB=\frac{1}{3}\times 6\times 3=6$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直判定定理、棱锥体积公式。
2. 核心方法：转化法（将不规则椎体高转化为点到平面的距离）。
3. 避坑指南：证明线面垂直时，务必指明平面内的两条相交直线。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题高频题型。
2. 结论推广: 熟练掌握长方体背景下的线面垂直与体积转化技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷理-09
• 2010-安徽卷文-19 解-空间向量线面关系与体积
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角