2019-全国卷II理-03 单-向量坐标运算

本题导读

本题考查向量的坐标减法运算，以及向量模的坐标表示公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）已知 $\overrightarrow{AB}=(2,3)$，$\overrightarrow{AC}=(3,t)$，且 $|\overrightarrow{BC}|=1$，则 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=$()

A. -3　　　　　　　B. -2　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

构造向量 $\overrightarrow{BC}$：

利用向量的减法运算（三角形法则）：$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。通过坐标相减得出 $\overrightarrow{BC}$ 关于 $t$ 的表达式。

利用模长求 $t$：

已知 $|\overrightarrow{BC}|=1$，利用向量模的坐标公式 $\sqrt{x^2+y^2}=1$ 建立方程，解出参数 $t$。

计算数量积：

将求出的 $\overrightarrow{BC}$ 坐标与已知的 $\overrightarrow{AB}$ 坐标进行点乘运算：$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C

【解析过程】

计算 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标：

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=(3-2,t-3)=(1,t-3)$。

根据模长条件解 $t$：

$\because |\overrightarrow{BC}|=1$

$\therefore \sqrt{1^2+(t-3{)}^2}=1$

两边平方得：$1+(t-3{)}^2=1$

解得：$(t-3{)}^2=0⟹t=3$。

确定 $\overrightarrow{BC}$ 坐标：

将 $t=3$ 代入得：$\overrightarrow{BC}=(1,3-3)=(1,0)$。

进行数量积运算：

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(2,3)\cdot (1,0)$

$=2\times 1+3\times 0=2$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

向量减法法则： 谨记“终点减起点”。求 $\overrightarrow{BC}$ 时是用点 C 的位置向量减去点 B 的位置向量，即 $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。

计算中的特殊情况： 本题中 $(t-3{)}^2=0$ 意味着 $t$ 只有一个解，这简化了运算。若有两个解，通常需要验证或两个解对应的数量积结果一致。

数量积的物理意义： $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的结果为正，说明两个向量的夹角为锐角。在本题中，$\overrightarrow{BC}$ 水平向右，而 $\overrightarrow{AB}$ 在第一象限，夹角确实为锐角。

📖【试题探源与推广】

Tip

在记录向量笔记时，可以备注以下坐标运算准则：

1. 线性组合：$m\vec{a}\pm n\vec{b}=(m{x}_a\pm n{x}_b,m{y}_a\pm n{y}_b)$

2. 垂直判定：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

3. 平行判定：$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷III理-14 填-平面向量的坐标减法运算

• 2005-湖北卷理-13 填-平面向量的坐标加法运算

• 2008-江西卷文-16 填-正六边形向量数量积