2019-全国卷II理-07 单-面面平行

本题导读

本题考查平面与平面平行的判定定理，以及平面与平面平行的性质定理。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）设 $\alpha ,\beta$ 为两个平面，则 $\alpha \parallel \beta$ 的充要条件是()

A. $\alpha$ 内有无数条直线与 $\beta$ 平行　　　　　B. $\alpha$ 内有两条相交直线与 $\beta$ 平行

C. $\alpha ,\beta$ 平行于同一条直线　　　　　　D. $\alpha ,\beta$ 垂直于同一平面

🔍【思路分析】

破题导航

回归判定定理： 面面平行的判定定理指出：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 分析充要性：

• 充分性：若条件成立，能否推出 $\alpha \parallel \beta$？
• 必要性：若 $\alpha \parallel \beta$ 成立，该条件是否必然成立？ 排除干扰项： 通过空间想象或寻找反例（如“线线平行”不一定“面面平行”、“垂直于同一平面的两平面可能相交”）来排除错误选项。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】

选项 A 判定： 若 $\alpha$ 内有无数条直线与 $\beta$ 平行，这些直线可能是互相平行的。 例如：$\alpha \cap \beta =l$，在 $\alpha$ 内所有平行于 $l$ 的直线都与 $\beta$ 平行，但此时 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交。 因此，充分性不成立。故 A 错误。 选项 B 判定：

• 充分性：根据面面平行的判定定理，若平面 $\alpha$ 内有两条相交直线 $a,b$ 满足 $a\parallel \beta$ 且 $b\parallel \beta$，则 $\alpha \parallel \beta$。充分性成立。
• 必要性：若 $\alpha \parallel \beta$，则由面面平行的性质可知，$\alpha$ 内的任意直线都与 $\beta$ 平行。因此，必然能在 $\alpha$ 内找到两条相交直线与 $\beta$ 平行。必要性成立。 故 B 是充要条件。 选项 C 判定： 若 $\alpha ,\beta$ 平行于同一条直线 $l$，这两个平面可以绕着 $l$ 的平行线旋转并相交。 例如：正方体的相邻两个侧面都平行于同一条侧棱，但这两个侧面互相垂直。故 C 错误。 选项 D 判定： 垂直于同一个平面的两个平面可以平行（如正方体的相对面），也可以相交（如正方体的相邻侧面，它们都垂直于底面）。故 D 错误。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

判定定理的关键点： “相交”二字是灵魂。没有“相交”的限制，无数条平行直线也无法支撑起平面的平行关系。 空间位置关系的逻辑链：

1. 线线平行 $⟹$ 线面平行（线不在面内）
2. 线面平行 $+$ 线面平行（两条相交线） $⟹$ 面面平行 常用模型辅助： 考场上遇到此类题目，利用手中的文具盒、试卷或考场教室的墙角作为模型进行模拟，可以快速排除错误直觉。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充以下等价条件：

1. $\alpha \parallel \beta ⟺$ 垂直于平面 $\alpha$ 的直线必垂直于平面 $\beta$。
2. $\alpha \parallel \beta ⟺$ 存在一个平面 $\gamma$，使得 $\alpha ,\beta$ 都平行于 $\gamma$。
3. $\alpha \parallel \beta ⟺$ 两个平面的法向量平行（$\overrightarrow{n_{\alpha }}\parallel \overrightarrow{n_{\beta }}$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 1981-全国卷理-03
• 1986-全国理-06 单-充分必要条件的传递