2019-全国卷II理-10 单-二倍角公式

本题导读

本题考查正弦的二倍角公式，以及余弦的二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷II(理)）已知 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，$2\sin 2\alpha =\cos 2\alpha +1$，则 $\sin \alpha =$()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

二倍角化单角： 观察等式左侧含有 $\sin 2\alpha$，右侧含有 $\cos 2\alpha +1$。

• 利用 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$。
• 利用 $\cos 2\alpha +1=2{\cos }^2\alpha$（降幂公式的逆用）。 建立比例关系： 代入公式后，等式变为关于 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的乘积式。通过约分（需注意 $\cos \alpha$ 是否为 0）得到 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 的倍数关系。 结合平方和公式： 利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 构造关于 $\sin \alpha$ 的一元二次方程。 范围限定： 根据 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$ 确定 $\sin \alpha$ 的正负号，从而排除多余解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】

恒等变换： 由已知等式 $2\sin 2\alpha =\cos 2\alpha +1$。 代入倍角公式： $2(2\sin \alpha \cos \alpha )=(2{\cos }^2\alpha -1)+1$ 整理得： $4\sin \alpha \cos \alpha =2{\cos }^2\alpha$ 化简方程： 由于 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，可知 $\cos \alpha \ne 0$。 方程两边同时除以 $2\cos \alpha$，得： $2\sin \alpha =\cos \alpha$。 联立平方和公式： 将 $\cos \alpha =2\sin \alpha$ 代入 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$： ${\sin }^2\alpha +(2\sin \alpha {)}^2=1$ ${\sin }^2\alpha +4{\sin }^2\alpha =1$ $5{\sin }^2\alpha =1⟹{\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$。 确定最终值： 因为 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，所以 $\sin \alpha >0$。 则 $\sin \alpha =\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

“1”的妙用： 在三角变换中，$\cos 2\alpha +1=2{\cos }^2\alpha$ 和 $1-\cos 2\alpha =2{\sin }^2\alpha$ 是极高频的技巧，能够迅速消除常数项并实现因式分解。

切化弦与弦化切： 本题求得 $2\sin \alpha =\cos \alpha$ 后，实际上得到了 $\tan \alpha =\frac{1}{2}$。利用万能公式或构造直角三角形也能求出 $\sin \alpha$。 角的范围： 始终注意第一象限内所有三角函数值均为正，这是开方取值的依据。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理此类变换模板：

1. 去常数项：利用 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ 消去 $+1$；利用 $\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ 消去 $1-$。
2. 齐次化处理：若得到 $A{\sin }^2\alpha +B\sin \alpha \cos \alpha +C{\cos }^2\alpha =D$，可将 $D$ 写为 $D({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )$，从而转化为关于 $\tan \alpha$ 的方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-04 单-三角命题真假
• 2009-陕西卷理-05
• 2011-重庆卷理-14