2019-全国卷III文-04 单-集合运算

本题导读

本题考查集合的交、并运算，以及用样本估计总体。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著。某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ()

A. 0.5　　　　　　B. 0.6　　　　　　C. 0.7　　　　　　D. 0.8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设阅读过《西游记》的学生集合为 $A$，阅读过《红楼梦》的学生集合为 $B$。
2. 根据容斥原理（或集合交并公式） $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$ 列方程求解 $n(A)$。
3. 计算频率作为概率/比值的估计值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设阅读过《西游记》的学生人数为 $n(A)$，阅读过《红楼梦》的学生人数为 $n(B)$。 由题意知： $n(A\cup B)=90$， $n(B)=80$， $n(A\cap B)=60$。 根据容斥原理 $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$，得： $90=n(A)+80-60$ $90=n(A)+20⟹n(A)=70$。 调查总人数为 100 人，故该校阅读过《西游记》的学生人数与总数比值的估计值为 $\frac{70}{100}=0.7$。 故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：集合的交并运算、容斥原理。
2. 核心方法：公式法或韦恩图直观求解。
3. 避坑指南：准确识别“或”对应并集，“且”对应交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 统计与集合交并应用题。
2. 结论推广: 熟练掌握容斥原理在计数与概率中的应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2016-北京卷文-14