2019-全国卷III文-08 单-几何体长度

本题导读

本题考查空间几何体的线段长度，以及异面直线与相交直线的判定。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(文)）如图，点 $N$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，$△ECD$ 为正三角形，平面 $ECD\perp$ 平面 $ABCD$，$M$ 是线段 $ED$ 的中点，则 ()

A. $BM=EN$，且直线 $BM,EN$ 是相交直线

B. $BM\ne EN$，且直线 $BM,EN$ 是相交直线

C. $BM=EN$，且直线 $BM,EN$ 是异面直线

D. $BM\ne EN$，且直线 $BM,EN$ 是异面直线

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系或利用几何法分别计算线段 $BM$ 和 $EN$ 的长度。
2. 通过分析两条直线是否在同一个平面内判定其相交或异面关系。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设正方形边长为 2。 以 $CD$ 中点为原点建立空间直角坐标系，或者利用几何法：

• 计算 $EN$ 的长度：在底面正方形中， $N$ 是中心，$△ECD$ 是边长为 2 的正三角形，可求得点 $E$ 到平面 $ABCD$ 的高及点坐标，进而计算出 $EN$ 的长度。
• 计算 $BM$ 的长度：利用中位线或空间两点距离公式计算 $BM$ 的长度。 经计算可得 $BM\ne EN$。 再分析直线 $BM$ 与 $EN$ 的位置关系：由于它们不共面且不平行，故为异面直线。 故选：(D)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间线段长度计算、空间直线位置关系。
2. 核心方法：空间直角坐标系法。
3. 避坑指南：仔细观察图形空间结构，切忌仅凭直观视觉判断相交或异面。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 立体几何综合选择题。
2. 结论推广: 熟练掌握空间中异面直线的判定方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2021-浙江卷-06 单-空间位置关系