2019-全国卷III理-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理展开式通项公式，以及多项式乘法的分配律。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）$(1+2x^2)(1+x{)}^4$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为()

A. 12　　　　　　　B. 16　　　　　　　C. 20　　　　　　　D. 24

🔍【思路分析】

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1. 结构拆解： 目标表达式为两部分相乘：$(1+2x^2)\cdot (1+x{)}^4$。 根据乘法分配律，展开式中的 $x^3$ 项由以下两种组合产生：

• 第一部分的常数项 $1$ 乘以 $(1+x{)}^4$ 中的 $x^3$ 项。
• 第一部分的二次项 $2x^2$ 乘以 $(1+x{)}^4$ 中的 $x^1$ 项。

2. 利用通项公式： 对于 $(1+x{)}^4$，其展开式的通项为 $T_{r+1}=C_4^r{x}^r$。

• 当 $r=3$ 时，项为 $C_4^3{x}^3$。
• 当 $r=1$ 时，项为 $C_4^{1}x$。

3. 系数汇总： 将上述两部分的系数相加即可得到最终结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 设 $(1+x{)}^4$ 展开式的通项为 $T_{r+1}=C_4^r{x}^r$。 要得到 $(1+2x^2)(1+x{)}^4$ 展开式中的 $x^3$ 项：

• 由 $1\times C_4^3{x}^3$ 得到，系数为 $C_4^3=4$；
• 由 $2x^2\times C_4^{1}x$ 得到，系数为 $2\times C_4^1=2\times 4=8$。 因此，$x^3$ 的系数为 $4+8=12$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心思维：这类题目不需要完全展开，只需“对号入座”。利用乘法分配律，明确每一项需要从二项式中“提取”几次方项。
2. 运算细节：注意第一部分中 $x^2$ 的系数是 $2$，在计算时千万不要漏掉这个倍数。
3. 公式熟练度：$C_n^r=C_n^{n-r}$，例如 $C_4^3=C_4^1=4$，熟练掌握这些常用组合数可加快速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，建议补充以下易混淆概念：

1. 二项式系数：指 $C_n^r$，它只与 $n$ 和 $r$ 有关，与项中的常数无关。例如本题中 $(1+x{)}^4$ 展开式中第 4 项的二项式系数是 $C_4^3=4$。
2. 项的系数：指项中除去变量部分后的所有数值。如本题中 $(1+2x^2)$ 的存在改变了最终 $x^3$ 项的系数。
3. 赋值法求系数和：

• 若要求所有项系数之和，令 $x=1$。
• 若要求常数项，令 $x=0$（在不含分母的情况下）。
• 若要求二项式系数之和，公式为 $2^n$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 22.04 分配问题

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 2003-广东卷-14
• 2006-天津卷理-11 填-通项公式