2019-全国卷III理-08 单-面面垂直

本题导读

本题考查面面垂直的性质定理，以及正方形与正三角形的几何性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）如图，点 $N$ 为正方形 $ABCD$ 的中心，$△ECD$ 为正三角形，平面 $ECD\perp$ 平面 $ABCD$，$M$ 是线段 $ED$ 的中点，则()

A. $BM=EN$，且直线 $BM,EN$ 是相交直线

B. $BM\ne EN$，且直线 $BM,EN$ 是相交直线

C. $BM=EN$，且直线 $BM,EN$ 是异面直线

D. $BM\ne EN$，且直线 $BM,EN$ 是异面直线


🔍【思路分析】

破题导航

1. 位置关系判断：

• 观察 $BM$ 与 $EN$ 所在的平面。由于 $N$ 是正方形中心，$O$ 是 $CD$ 中点，$E$ 在 $CD$ 的中垂线上（面面垂直），可知 $E,O,N$ 共面。
• 考虑直线 $EN$ 所在的平面（对称面）与点 $M,B$ 的位置关系，判定它们是否共面。若共面且不平行，则相交。

2. 长度计算：

• 定量分析：设正方形边长为 2。
• 计算 $EN$：在 $Rt△EON$ 中求解。
• 计算 $BM$：通过向底面作垂线，构造 $Rt△MFB$（其中 $F$ 为 $M$ 在底面的投影），利用勾股定理求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B 【解析过程】 第一步：判定位置关系

取 $CD$ 的中点 $O$，连接 $EO,ON,OB$。 $\because △ECD$ 是正三角形，$\therefore EO\perp CD$。 又 $\because$ 平面 $ECD\perp$ 平面 $ABCD$，且交线为 $CD$， $\therefore EO\perp$ 平面 $ABCD$。 连接 $ON$，则 $ON\parallel AD$，且 $ON$ 过正方形中心 $N$。 由此可知，点 $E,O,N$ 都在正方形的垂直平分面上。 连接 $OM$，在 $△EOD$ 中，$M$ 是 $ED$ 中点，则 $M$ 必在平面 $EBD$ 内。 通过对称性或建立坐标系可以证明，$B,M,E,N$ 四点共面（都位于过 $B$ 点且垂直于 $AC$ 的某个对称截面上，或者直接观察 $M$ 在 $△EOD$ 的边上，而 $B,N,D$ 共线，故 $EN$ 与 $BM$ 都在平面 $EBD$ 内）。 因为 $BM$ 与 $EN$ 不平行，所以它们是相交直线。

第二步：计算线段长度 设正方形边长 $AB=2$，则 $CD=2$。

• 在正 $△ECD$ 中，$EO=\sqrt{3}$。
• 在正方形 $ABCD$ 中，$ON=1$。
• 在 $Rt△EON$ 中，$EN=\sqrt{E{O}^2+O{N}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2$。

求 $BM$： 作 $MF\perp CD$ 于 $F$，连接 $BF$。因为平面 $ECD\perp$ 平面 $ABCD$，$MF\subset$ 平面 $ECD$， 所以 $MF\perp$ 平面 $ABCD$。 $\because M$ 是 $ED$ 中点，$\therefore MF=\frac{1}{2}EO=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$F$ 是 $OD$ 的中点。 在底面正方形中，$F$ 到 $BC$ 的距离为 $1+\frac{1}{2}=1.5$，到 $AB$ 的距离为 $2$。 或者利用坐标：以 $O$ 为原点，$OC$ 为 $x$ 轴，$ON$ 为 $y$ 轴，$OE$ 为 $z$ 轴。 则 $B(1,2,0),D(-1,0,0),E(0,0,\sqrt{3})$。 $M$ 是 $ED$ 中点 $⟹M(-\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2})$。 $BM=\sqrt{(1-(-\frac{1}{2}){)}^2+(2-0{)}^2+(0-\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\sqrt{(\frac{3}{2}{)}^2+4+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{16}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{7}$。 $\because \sqrt{7}\ne 2$，$\therefore BM\ne EN$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 面面垂直的性质：这是解题的突破口。看到面面垂直，立刻寻找或构造垂直于交线的直线，从而转化为线面垂直，进而建立空间高度关系。
2. 空间共面判定：判定两条直线是相交还是异面，最直观的方法是看它们是否能纳入同一个平面。利用几何体的对称性（如本题的垂直平分面）是常用的捷径。
3. 坐标法的威力：对于这类涉及长度比较的选择题，建立空间直角坐标系进行暴力运算通常比纯几何论证更稳妥，不容易产生视觉误判。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理以下“口诀”：

• 同面不平行 $\to$ 必相交。
• 不同面 $\to$ 必异面。
• 判断长度：优先寻找包含该线段的直角三角形（三垂线定理的应用）。
• 特殊模型：本题模型可以看作是“折叠问题”的逆向过程，即将正三角形沿 $CD$ 翻折。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2000-上海卷理-14 单-空间点线面的位置关系
• 2002-新课标理-18乙 解-面面垂直的性质定理
• 2004-全国卷II理-16 填-空间线面垂直