2019-全国卷III理-13 填-向量数量积

本题导读

本题考查向量的数量积公式，以及向量模长的平方性质。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）已知 $\vec{a},\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。若 $\vec{c}=2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}$，则 $\cos ⟨\vec{a},\vec{c}⟩=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确已知条件：

• $\vec{a},\vec{b}$ 是单位向量 $⟹|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=1$。
• $\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹\vec{a}\perp \vec{b}$。

2. 计算分子（数量积）： 计算 $\vec{a}\cdot \vec{c}$。利用分配律将 $\vec{c}$ 展开。
3. 计算分母（模长）： 利用 $|\vec{c}|=\sqrt{{\vec{c}}^2}$ 计算向量 $\vec{c}$ 的模长。
4. 代入公式： $\cos ⟨\vec{a},\vec{c}⟩=\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{c}|}$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{2}{3}$ 【解析过程】 第一步：计算 $\vec{a}\cdot \vec{c}$ $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b})$ $=2{\vec{a}}^2-\sqrt{5}(\vec{a}\cdot \vec{b})$ 因为 $|\vec{a}|=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=0$， 所以 $\vec{a}\cdot \vec{c}=2\times 1^2-0=2$。

第二步：计算 $|\vec{c}|$ $|\vec{c}{|}^2=(2\vec{a}-\sqrt{5}\vec{b}{)}^2$ $=4{\vec{a}}^2-4\sqrt{5}(\vec{a}\cdot \vec{b})+5{\vec{b}}^2$ $=4\times 1-0+5\times 1=9$。 所以 $|\vec{c}|=3$。

第三步：计算夹角余弦值 $\cos ⟨\vec{a},\vec{c}⟩=\frac{\vec{a}\cdot \vec{c}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{c}|}$ $=\frac{2}{1\times 3}=\frac{2}{3}$。

故填：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 向量运算的代数化：处理向量长度和夹角时，最常用的技巧就是“平方”。记住 $|\vec{a}\pm \vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2$。
2. 几何直观：本题中 $\vec{a},\vec{b}$ 互相垂直且长度为 1。我们可以把它们想象成直角坐标系中的单位基向量 $\vec{i},\vec{j}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以备注此题的“秒解”方案： 既然 $\vec{a},\vec{b}$ 是单位垂直向量，不妨令： $\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(0,1)$。 那么 $\vec{c}=2(1,0)-\sqrt{5}(0,1)=(2,-\sqrt{5})$。 则 $|\vec{c}|=\sqrt{2^2+(-\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{4+5}=3$。 $\cos ⟨\vec{a},\vec{c}⟩=\frac{x_a{x}_c+y_a{y}_c}{|\vec{a}||\vec{c}|}=\frac{1\times 2+0\times (-\sqrt{5})}{1\times 3}=\frac{2}{3}$。 结论：在涉及单位垂直向量的题目中，建立临时坐标系往往能将抽象运算转化为初等算术。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-江苏卷-05 填-向量模长夹角
• 2008-浙江卷文-16 填-向量模长范围
• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算