2019-全国卷III理-22 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程的建立。核心在于公式法 (直接写出圆的极坐标方程)、分段函数思想的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年全国卷III(理)）如图，在极坐标系 $Ox$ 中，$A(2,0)$，$B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，$C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$，$D(2,\pi )$，弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$，$\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$，$\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$ 所在圆的圆心分别是 $(1,0)$，$(1,\frac{\pi }{2})$，$(1,\pi )$，曲线 $M_1$ 是弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}$，曲线 $M_2$ 是弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}$，曲线 $M_3$ 是弧 $\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}$。

(1)分别写出 $M_1$，$M_2$，$M_3$ 的极坐标方程；

(2)曲线 $M$ 由 $M_1$，$M_2$，$M_3$ 构成，若点 $P$ 在 $M$ 上，且 $|OP|=\sqrt{3}$，求 $P$ 的极坐标。


🔍【思路分析】

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1. 第一问 (写出方程)：

• 观察圆心坐标：$C_1(1,0),C_2(1,\frac{\pi }{2}),C_3(1,\pi )$。所有圆都过极点 $O$，且半径均为 $r=1$。
• 使用公式：圆心在 $(r,{\theta }_0)$，半径为 $r$ 且过极点的圆方程为 $\rho =2r\cos (\theta -{\theta }_0)$。
• 确定范围：根据点 $A,B,C,D$ 的极角确定每段弧的 $\theta$ 取值范围。

2. 第二问 (求点 P)：

• 令 $\rho =\sqrt{3}$，分别代入 $M_1,M_2,M_3$ 的方程。
• 在各自对应的 $\theta$ 范围内解三角方程，得出所有符合条件的极角。

✅【答案】

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(1)$M_1:\rho =2\sin \theta$，$M_2:\rho =2\cos \theta$，$M_3:\rho =-2\cos \theta$（各含相应 $\theta$ 范围）。

(2)点 $P$ 的极坐标为 $(\sqrt{3},\frac{\pi }{6})$，$(\sqrt{3},\frac{\pi }{3})$，$(\sqrt{3},\frac{2\pi }{3})$，$(\sqrt{3},\frac{5\pi }{6})$。

✍【详细解析】

Abstract

【解析过程】 (1)解： 由题意可知，三段弧所在圆的半径均为 $r=1$，直径均为 $2r=2$。

• 对于 $M_1$：圆心为 $(1,0)$，方程为 $\rho =2\cos (\theta -0)=2\cos \theta$。 由于弧从 $A(2,0)$ 到 $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$，极角范围为 $[0,\frac{\pi }{4}]$。 $\therefore M_1:\rho =2\cos \theta$ ($\theta \in [0,\frac{\pi }{4}]$)。
• 对于 $M_2$：圆心为 $(1,\frac{\pi }{2})$，方程为 $\rho =2\cos (\theta -\frac{\pi }{2})=2\sin \theta$。 由于弧从 $B(\sqrt{2},\frac{\pi }{4})$ 到 $C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$，极角范围为 $[\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$。 $\therefore M_2:\rho =2\sin \theta$ ($\theta \in [\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$)。
• 对于 $M_3$：圆心为 $(1,\pi )$，方程为 $\rho =2\cos (\theta -\pi )=-2\cos \theta$。 由于弧从 $C(\sqrt{2},\frac{3\pi }{4})$ 到 $D(2,\pi )$，极角范围为 $[\frac{3\pi }{4},\pi ]$。 $\therefore M_3:\rho =-2\cos \theta$ ($\theta \in [\frac{3\pi }{4},\pi ]$)。

(2)解： 令 $|OP|=\rho =\sqrt{3}$。

• 代入 $M_1$ 方程：$2\cos \theta =\sqrt{3}⟹\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $\because \theta \in [0,\frac{\pi }{4}]$，$\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$。点坐标为 $(\sqrt{3},\frac{\pi }{6})$。
• 代入 $M_2$ 方程：$2\sin \theta =\sqrt{3}⟹\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $\because \theta \in [\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$，$\therefore \theta =\frac{\pi }{3}$ 或 $\theta =\frac{2\pi }{3}$。 点坐标为 $(\sqrt{3},\frac{\pi }{3})$ 和 $(\sqrt{3},\frac{2\pi }{3})$。
• 代入 $M_3$ 方程：$-2\cos \theta =\sqrt{3}⟹\cos \theta =-\frac{\sqrt{3}}{2}$。 $\because \theta \in [\frac{3\pi }{4},\pi ]$，$\therefore \theta =\frac{5\pi }{6}$。点坐标为 $(\sqrt{3},\frac{5\pi }{6})$。

综上所述，点 $P$ 的极坐标为： $(\sqrt{3},\frac{\pi }{6})$，$(\sqrt{3},\frac{\pi }{3})$，$(\sqrt{3},\frac{2\pi }{3})$，$(\sqrt{3},\frac{5\pi }{6})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 圆的极坐标方程模型：

• 圆心在极轴上 $(a,0)$，过极点：$\rho =2a\cos \theta$。
• 圆心在极轴垂直线上 $(a,\frac{\pi }{2})$，过极点：$\rho =2a\sin \theta$。 熟记这两个基本模型可以大幅提升第一问的解题速度。

2. 范围的“重叠”与“衔接”：分段曲线题目中，端点处的坐标通常在相邻两段方程中都成立（如点 $B$ 在 $M_1$ 和 $M_2$ 上均有体现），但在求解具体点时，必须严格遵守题设的 $\theta$ 范围。
3. 三角方程的多解性：在第二问求解 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，要时刻注意 $[\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$ 这个大跨度区间内有两个解，漏掉任何一个都会导致失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以补充此类“花瓣状”或“弧形组合”题目的套路：

1. 定圆心、定半径：先找到每段圆弧对应的完整圆属性。
2. 定相位：根据圆心相对于极点的角度 ${\theta }_0$ 调整 $\cos (\theta -{\theta }_0)$。
3. 求交点：极坐标下的曲线交点，除了联立方程，有时还需要考虑极点的特殊性（极点在极坐标系中有无数种表达方式），但对于这类 $\rho \ne 0$ 的题目，直接代入即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标
• 1994-全国卷理-03
• 2000-广东卷理-08 单-极坐标与直角坐标的互化