2019-北京卷文-06 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷文）设函数 $f(x)=\cos x+b\sin x$ ($b$ 为常数)，则“$b=0$”是“$f(x)$ 为偶函数”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：当 $b=0$ 时，检验 $f(x)=\cos x$ 是否为偶函数。
2. 必要性：若 $f(x)$ 为偶函数，利用偶函数定义 $f(-x)=f(x)$ 推导 $b$ 的取值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对于充分性：若 $b=0$，则 $f(x)=\cos x$，因为 $\cos (-x)=\cos x=f(x)$，所以 $f(x)$ 是偶函数，充分性成立。 对于必要性：若 $f(x)$ 为偶函数，则对定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x)=f(x)$。 即 $\cos (-x)+b\sin (-x)=\cos x+b\sin x$， 化简得 $\cos x-b\sin x=\cos x+b\sin x$， 即 $-b\sin x=b\sin x⟹2b\sin x=0$ 对任意 $x$ 恒成立， 取 $x=\frac{\pi }{2}$ 可得 $2b(1)=0⟹b=0$，必要性成立。 综上，“$b=0$”是“$f(x)$ 为偶函数”的充要条件。 故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件、三角函数奇偶性。
2. 核心方法：定义验证法。
3. 避坑指南：证明必要性时，注意三角函数恒等式对任意 $x$ 成立的特值代入法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 2019年北京卷文科数学第6题。
2. 结论推广: 含有参数的函数奇偶性判定方法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 1990-上海卷-12 单-充要条件的判定
• 2007-大纲卷I理-09 单-充分条件必要条件判定