2019-北京卷理-13 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的奇偶性定义。核心在于定义法、导数法 (分离变量)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2019年北京卷理）设函数 $f(x)=e^x+a{e}^{-x}$ ($a$ 为常数)．若 $f(x)$ 为奇函数，则 $a=$ $\underline{}$；若 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的增函数，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一空：利用奇偶性求 $a$

   • 奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$。

   • 代入解析式：$e^{-x}+a{e}^x=-(e^x+a{e}^{-x})$。

   • 通过整理项，使关于 $e^x$ 和 $e^{-x}$ 的系数相等或利用特定点（如 $f(0)=0$）快速锁定。

2. 第二空：利用单调性求 $a$

   • 若 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，则其导函数 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立（且不恒为零）。

   • 求导得到 $f^{\prime }(x)=e^x-a{e}^{-x}$。

   • 转化为不等式恒成立问题，利用分离变量法求解。

✅【答案】

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$-1$； $(-\infty ,0]$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-1$； $(-\infty ,0]$

【解析过程】

1. 求解第一空（奇函数条件）：

   因为 $f(x)$ 为奇函数，所以对任意 $x\in \mathbb{R}$，有 $f(-x)+f(x)=0$。

   $(e^{-x}+a{e}^x)+(e^x+a{e}^{-x})=0$

   $(1+a)e^x+(1+a)e^{-x}=0$

   $(1+a)(e^x+e^{-x})=0$

   由于 $e^x+e^{-x}>0$ 恒成立，所以必有 $1+a=0$，解得 $a=-1$。

2. 求解第二空（增函数条件）：

   若 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是增函数，则 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 恒成立。

   $f^{\prime }(x)=e^x-a(-e^{-x})=e^x-a\cdot e^{-x}\ge 0$

   (注：此处求导需注意复合函数求导法则，$(a{e}^{-x}{)}^{\prime }=-a{e}^{-x}$)

   $e^x+a{e}^{-x}\ge 0$

   —— 此处解析有误，应更正为：

   $f^{\prime }(x)=(e^x+a{e}^{-x}{)}^{\prime }=e^x-a{e}^{-x}$。

   令 $e^x-a{e}^{-x}\ge 0$ 恒成立：

   $e^x\ge a{e}^{-x}$

   两边同乘以 $e^x$（$e^x>0$）：

   $e^{2x}\ge a$

   由于 $e^{2x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的值域是 $(0,+\infty )$，要使 $a\le e^{2x}$ 对任意 $x\in \mathbb{R}$ 恒成立，

   则 $a$ 必须小于或等于 $e^{2x}$ 的最小值（即下确界）。

   故 $a\le 0$。

   即 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 奇函数的必要条件： 对于定义域包含 $0$ 的奇函数，$f(0)=0$ 往往是解题的捷径。本题中 $f(0)=e^0+a{e}^0=1+a=0⟹a=-1$，再代回检验即可。

2. 导数恒成立的临界点： 在处理 $f^{\prime }(x)\ge 0$ 时，很多同学会漏掉 $a=0$ 的情况。当 $a=0$ 时，$f(x)=e^x$，显然是 $\mathbb{R}$ 上的增函数，因此 $0$ 必须包含在区间内。

3. 符号误区： 求导时一定要看清指数上的负号。$e^{-x}$ 的导数是 $-e^{-x}$，符号的变化直接影响不等式的方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题的函数原型是双曲函数：

1. 双曲正弦函数 $\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$：这是奇函数（对应本题 $a=-1$ 的缩放）。

2. 双曲余弦函数 $\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$：这是偶函数（对应本题 $a=1$ 的缩放）。

   北京卷常以这些具有高等数学背景的初等函数为素材，考察学生对基本性质的掌握和迁移能力。

第 13 题录入完成！这是一道经典的函数性质综合题。

准备录入填空压轴题第 14 题吗？（北京卷的 14 题通常是极具创新的逻辑推理或动态几何题）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-04 单-二倍角与函数性质
• 1991-全国卷理-13
• 1992-全国卷理-16