2019-天津卷文-02 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩽0,\\ x-y+2⩾0,\\ x\ge -1,\\ y\ge -1,\end{array}$ 则目标函数 $z=-4x+y$ 的最大值为 ()

A. 2　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出约束条件所表示的可行域。

2. 确定可行域的各个顶点坐标。

3. 将顶点坐标代入目标函数比较大小，求出最大值。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组对应的平面区域。

联立边界方程求出可行域的顶点：

由 $x=-1$ 与 $x-y+2=0$ 交于点 $(-1,1)$；

由 $x+y-2=0$ 与 $x-y+2=0$ 联立得点 $(0,2)$；

由 $x=-1$ 与 $x+y-2⩽0$ 的边界 $x+y-2=0$ 联立得点 $(-1,3)$，但由于 $y\le x+2$ 的限制，该点不在可行域内，实际边界由 $x=-1$、$y=-1$、$x-y+2\ge 0$、$x+y-2\le 0$ 围成。

经准确计算，可行域顶点主要包括：

• $(-1,-1)$

• $(-1,1)$

• $(0,2)$

• $(3,-1)$（由 $y=-1$ 与 $x+y-2=0$ 交得）

代入目标函数 $z=-4x+y$：

• 在点 $(-1,-1)$ 处：$z=-4(-1)+(-1)=3$；

• 在点 $(-1,1)$ 处：$z=-4(-1)+1=5$；

• 在点 $(0,2)$ 处：$z=-4(0)+2=2$；

• 在点 $(3,-1)$ 处：$z=-4(3)+(-1)=-13$。

故最大值为 $5$。

故选：(C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求最值。

2. 核心方法：图解法，准确作图与求交点。

3. 避坑指南：仔细审清每个不等式的边界，防止多选或漏选可行域的顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典高考线性规划题型。

2. 结论推广: 目标函数的最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-广东卷理-6

• 2004-江苏卷-19 解-简单的线性规划问题

• 2005-辽宁卷-20 解-相互独立事件的概率