2019-天津卷文-05 单-比较大小

本题导读

本题考查对数值的大小比较，以及指数式的大小比较。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）已知 $a={\log }_{2}7,b={\log }_{3}8,c=0.3^{0.2}$，则 $a,b,c$ 的大小关系为 ()

A. $c<b<a$　　B. $a<b<c$　　C. $b<c<a$　　D. $c<a<b$

🔍【思路分析】

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1. 分别判断 $a,b,c$ 的取值范围或与标准数 $0,1,2$ 的大小关系。
2. 利用指数函数性质估计 $c$ 的范围；利用对数函数的单调性及底数真数关系估计 $a,b$ 的范围。
3. 综合各范围得到整体大小关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为指数函数 $y=0.3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，且 $0.2>0$，所以 $c=0.3^{0.2}<0.3^0=1$，又 $c>0$，故 $0<c<1$。 因为 $b={\log }_{3}8$，且 ${\log }_{3}3=1<{\log }_{3}8<{\log }_{3}9=2$，所以 $1<b<2$。 因为 $a={\log }_{2}7$，且 ${\log }_{2}4=2<{\log }_{2}7<{\log }_{2}8=3$，所以 $2<a<3$。 综上所述，$c<b<a$。 故选：(A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：指数与对数的大小白分与范围估计。
2. 核心方法：区间定界法，利用整数边界（$0,1,2$ 等）进行桥接。
3. 避坑指南：跨类大小比较时，切忌盲目转化，应先观察各项大致所在的区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数与导数压轴或选择题中常见的指对数比较大小问题。
2. 结论推广: 若不同类型的数无法直接转化，可寻找公用的中间常数（如 $0$ 或 $1$）来隔离比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2016-全国卷III理-06
• 全国卷I理-11 单-对数运算
• 天津卷理-06 单-函数性质