2019-天津卷文-13 填-基本不等式

本题导读

本题考查基本不等式求最值，以及换元法或常数代换法。

📌【题干】

Question

（2019年天津卷文）设 $x>0,y>0,x+2y=5$，则 $\frac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}}$ 的最小值为$\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将分子展开，化简为含 $xy$ 和 $x+2y$ 的表达式。
2. 利用已知条件 $x+2y=5$ 整体代入分子中。
3. 利用基本不等式求出分式的最小值。

✅【答案】

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$4\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

分子展开： $(x+1)(2y+1)=2xy+x+2y+1$。 因为 $x+2y=5$，代入上式得： $2xy+5+1=2xy+6$。 原式化为 $\frac{2xy+6}{\sqrt{xy}}=2\sqrt{xy}+\frac{6}{\sqrt{xy}}$。 设 $t=\sqrt{xy}>0$，则式子变为 $2t+\frac{6}{t}$。 因为 $x>0,y>0$，由基本不等式 $x+2y\ge 2\sqrt{2xy}⟹5\ge 2\sqrt{2xy}⟹\sqrt{2xy}\le \frac{5}{2}⟹2xy\le \frac{25}{8}$， 所以 $t=\sqrt{xy}\le \frac{5}{2\sqrt{2}}$（等号成立条件需检验是否满足 $x=2y$ 且 $x+2y=5$）。 当 $x=\frac{5}{2},2y=\frac{5}{2}⟹y=\frac{5}{4}$ 时，$xy=\frac{25}{8}$，此时 $t=\frac{5}{2\sqrt{2}}$ 取得最大值。 等等，题目求的是 $2t+\frac{6}{t}$ 的最小值。函数 $f(t)=2t+\frac{6}{t}$ 在 $t>0$ 时在 $t=\sqrt{3}$ 处取得最小值 $2\sqrt{2\times 6}=4\sqrt{3}$？ 检查 $t=\sqrt{xy}$ 的取值范围： 由 $x+2y=5\ge 2\sqrt{2xy}⟹xy\le \frac{25}{8}$，即 $0<t\le \frac{5}{2\sqrt{2}}\approx 1.767$。 而 $2t+\frac{6}{t}$ 的导数 $f^{\prime }(t)=2-\frac{6}{t^2}=0⟹t=\sqrt{3}\approx 1.732$。 因为 $\sqrt{3}\le \frac{5}{2\sqrt{2}}$（因为 $3<\frac{25}{8}=3.125$），所以 $t=\sqrt{3}$ 在取值范围内！ 因此，当 $t=\sqrt{3}$ 时，原式取得最小值 $2\sqrt{3}+\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。 检验取等条件：当 $t=\sqrt{3}$ 时，$xy=3$。 又因为 $x+2y=5$，联立 $\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ xy=3\end{array}⟹x(5-x)=3⟹x^2-5x+3=0$，解得 $x=\frac{5\pm \sqrt{13}}{2}>0$，且满足 $x,y>0$。 所以最小值为 $4\sqrt{3}$。 故答案为：$4\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式求最值。
2. 核心方法：分子展开整体代换，化为单变量函数求最值。
3. 避坑指南：利用基本不等式时，必须检验取等号的条件是否在变量的实际取值范围内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考压轴填空题中的经典最值问题。
2. 结论推广: 灵活运用“1”的代换与整体换元法是解决此类分式最值的有效途径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I理-16
• 2018-天津卷文-13 填-指数运算
• 1999-全国卷理-19 解-对数型无理不等式